Complex geconjugeerde

Meetkundige weergave van $z$ en zijn geconjugeerde $\bar{z}$ in het complexe vlak.

In de wiskunde is de complex geconjugeerde of complex toegevoegde van een complex getal het complexe getal met hetzelfde reële deel, maar het tegengestelde imaginaire deel. Als men zich een complex getal in het complexe vlak voorstelt (zie plaatje hiernaast), dan is zijn geconjugeerde het om de reële as gespiegelde getal. Wanneer een complex getal en zijn complex geconjugeerde met elkaar worden vermenigvuldigd, is het product een reëel getal.

Definitie

De geconjugeerde van het complexe getal,

$\!\,z=a+ib$

waarin a en b reële getallen zijn, is gedefinieerd als

$\!\,\overline{z} = a - ib.$

De complexe geconjugeerde van z, hier genoteerd als z met een streep erboven, wordt vaak aangeduid met z*. Hier wordt $\bar z$ gekozen om verwarring te voorkomen met de notatie voor de geadjugeerde matrix van een matrix die kan worden gezien als een veralgemening van een complex geconjugeerde. Merk op dat als een complex getal wordt behandeld als een 2×2-matrix de notatie gelijk is.

Voorbeelden

$\overline{(3-2i)} = 3 + 2i$

$\overline{7}=7$

$\overline{i} = -i.$

Complexe getallen worden vaak afgebeeld als punten in een vlak met een Cartesisch coördinatenstelsel (zie diagram). De x-as beschrijft de reële getallen en de y-as bevat de imaginaire getallen, de veelvouden van i. In deze wijze van voorstellen correspondeert de complex geconjugeerde met een spiegeling in de x-as.

In poolcoördinaten wordt de complex geconjugeerde van

$\!\,r e^{i \phi}$

gegeven door :

$\!\,r e^{-i \phi}$.

Dit kan worden geverifieerd door gebruik te maken van de formule van Euler.

Paren van complex geconjugeerden zijn van belang omdat de imaginaire eenheid i kwalitatief niet te onderscheiden is van de additieve- en de multiplicatieve inverse –i, aangezien beide voldoen aan de definitie voor de imaginaire eenheid: $x^2=-1$. Als dus in de meeste "natuurlijke" gevallen een complex getal een oplossing voor een probleem biedt, zal de complex geconjugeerde daarvan dit ook doen, zoals in het geval van complexe oplossingen voor kwadratische vergelijkingen met reële coëfficiënten.

Eigenschappen

De onderstaande eigenschappen zijn, tenzij anders vermeld, van toepassing voor alle complexe getallen z en w.

• $\overline{\overline{z}}=z$

• $\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}$

• $\overline{z - w} = \overline{z} - \overline{w}$

• $\overline{zw} = \overline{z}\;\overline{w}$

• $\overline{\left({\frac{z}{w}}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}$ als w ongelijk is aan nul

• $\!\,\overline{z} = z$ dan en slechts dan als z reëel is

• $\overline{z^n} = \overline{z}^n$ voor enig geheel getal n

• $| \overline{z} | = |z|$
• $|z|^2 = z\overline{z} = \overline{z}z$
• $\tfrac 12(z + \overline{z}) = Re(z)$
• $\tfrac 1{2i}(z - \overline{z}) = Im(z)$

• De afbeelding die z afbeeldt op zijn complex geconjugeerde is een involutie; dat wil zeggen dat de geconjugeerde van de geconjugeerde van een complex getal z opnieuw gelijk is aan dat complexe getal z

• $z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}$ als z ongelijk is aan nul

Deze laatste formule is de geëigende methode om de inverse van een complex getal te berekenen, wanneeer deze in Cartesische coördinaten is gegeven.

• $\exp(\overline{z}) = \overline{\exp(z)}\,\!$

• $\log(\overline{z}) = \overline{\log(z)}\,\!$ als z ongelijk is aan nul

• In het algemeen, als $\phi \,$ een holomorfe functie is, die de reële getallen afbeeldt op reële getallen, en wanneer $\phi(z)\,$ gedefinieerd is, dan geldt

$\phi(\overline{z}) = \overline{\phi(z)}\,\!$

Als bijgevolg p een polynoom is met reële coëfficiënten en $p(z) = 0$, dan geldt ook dat $p(\overline{z}) = 0$. Men kan dus stellen dat de niet-reële wortels van reële polynomen in complex geconjugeerde paren voorkomen. (Zie het artikel over het complex geconjugeerde wortelstelling)

De functie $\phi(z) = \overline{z}$ van $\mathbb{C}$ naar $\mathbb{C}$ is een homeomorfisme, (waar de topologie op $\mathbb{C}$ geacht wordt de standaard topologie te zijn). Alhoewel dit een "tamme" wel-gemanierde functie lijkt te zijn, is deze functie niet holomorf; de functie draait de oriëntatie om, terwijl holomorfe functies geacht worden de lokale oriëntatie juist bewaren. De functie is bijectief en is ook compatibel met rekenkundige operaties en is dus een veld automorfisme. Aangezien de functie de reële getallen gefixeerd houdt, is de functie een element van een Galoisgroep van de velduitbreiding $\mathbb{C}/\mathbb{R}$. Deze Galoisgroep heeft slechts twee elementen: $\phi$ en de identiteit op $\mathbb{C}$. De enige twee veld automorfismes van $\mathbb{C}$ die de reële getallen gefixeerd houden zijn dus de identiteitsfunctie en de functie die elk getal op zijn complexe geconjugeerde afbeeldt.

Gebruik als variabele

Het paar variabelen $z=x+iy=\rho e^{i\theta}$ en $\overline{z}$ zetten het vlak op, net zoals x,y en $\rho$ en $\theta$. Verder is $\overline{z}$ bruikbaar bij specificeren van lijnen in het vlak.

$\{z:\ z \overline{r} + \overline{z} r = 0 \}$

is een lijn door de oorsprong en loodrecht op $\overline{r}$ aangezien het reële gedeelte van $z\cdot\overline{r}$ alleen gelijk is aan nul, wanneer de cosinus van een hoek tussen z en $\overline{r}$ nul is. Op gelijke wijze geldt voor een vaste complexe eenheid u = exp(b i), de vergelijking:

$\frac{z - z_0}{\overline{z} - \overline{z_0}} = u$

bepaalt de lijn door $z_0$ in the richting van u.

Veralgemeningen

De andere planaire reële algebra's, duale getallen en split-complexe getallen kunnen ook worden uitgelegd door gebruik te maken van de complexe geconjugeerde.

De geadjugeerde matrix van de complexe matrices veralgemeent het begrip complex geconjugeerde. Nog algemener is het concept van de toegevoegde operator voor operatoren op (mogelijk oneindig-dimensionale) complexe Hilbertruimten. Dit is alles is ondergebracht bij de *-operaties van de C*-algebra's.

Men kan ook een geconjugeerde definiëren voor de quaternionen en de coquaternionen: de geconjugeerde van

$\!\,a + bi + cj + dk$

is

$\!\,a - bi - cj - dk$.

Merk op dat al deze generalisaties alleen multiplicatief zijn als de factoren omdraaien:

${\left(zw\right)}^* = w^* z^*.$

Aangezien de vermenigvuldiging van planaire reële algebra's commutatief is is deze omdraaiing hier echter niet nodig.

Er is ook een abstracte notie van de conjugatie van vectorruimten V over de complexe getallen. In deze context, enige (reële) lineaire transformatie $\phi: V \rightarrow V$ die voldoet aan

1. $\phi\neq id_V$, de identiteitsfunctie op V,
2. $\phi^2 = id_V\,$, en
3. $\phi(zv) = \overline{z} \phi(v)$ voor alle v ∈ V, $z\in{\mathbb C}$,

wordt de complex geconjugeerde genoemd. Een voorbeeld van zo'n begrip is de gadjungeerde van een complexe matrix, zoals hierboven gedefinieerd. Tenslotte moet worden opgemerkt dat er op algemene complexe vectorruimten geen kanonieke notie van een complex geconjugeerde bestaat.