Holomorfe functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een rechthoekig raster (boven) en de afbeelding daarvan (onder): een holomorfe functie f

Holomorfe functies zijn het centrale onderwerp van studie binnen de complexe analyse, een deelgebied van de wiskunde; holomorfe functies zijn functies die zijn gedefinieerd op een open deelverzameling van het complexe vlak C met waarden in C en die op ieder punt in dit complexe vlak complex-differenteerbaar zijn. Dit is een veel sterkere conditie dan de reële differentieerbaarheid en houdt in dat de functie oneindig vaak differentieerbaar is en dat een holomorfe functie kan worden beschreven aan de hand van haar Taylorreeksexpansies.

De term analytische functie wordt vaak door elkaar gebruikt met holomorfe functie, hoewel de term analytisch ook in bredere zin van een functie (reëel, complex, of van meer algemene aard) wordt gebruikt, een functie die gelijk is aan haar Taylorreeks in een omgeving van elk punt in zijn domein. Het feit dat de klasse van analytische functies samenvalt met de klasse van holomorfe functies is een belangrijke stelling uit de complexe analyse.

Holomorfe functies worden ook wel reguliere functies genoemd.[1] Een functie die holomorf is over het hele complexe vlak wordt ook wel een gehele functie genoemd. De zinsnede "holomorf op een punt z" betekent niet alleen differentieerbaar op z, maar overal differentieerbaar binnen enige open schijf gecentreerd op z in het complexe vlak.

Definitie[bewerken]

Als U een open deelverzameling van C is en f : UC is een complexe functie op U, dan zeggen we dat f complex differentieerbaar is op een punt z0 van U als de limiet

f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }

bestaat

De limiet wordt hier genomen over alle rijen van complexe getallen die naderen tot z0 en voor al zulke rijen dient het differentiequotiënt tot hetzelfde getal f (z0) te naderen. Intuïtief, als f complex differentieerbaar is op z0 en we punt z0 naderen uit de richting r, dan benaderen de afbeeldingen het punt f(z0) uit de richting f '(z0) r, waar het laatste product de vermenigvuldiging is van complexe getallen. Dit concept van differentieerbaarheid deelt verschillende eigenschappen met reële differentieerbaarheid: het is lineair en gehoorzaamt aan de product-, quotiënt- en keten-regels.

Als f complex differentieerbaar is op elk punt z0 in U, zeggen we dat f holomorf op U is. Wij zeggen dat f holomorf is op het punt z0 als het holomorf is op enige omgeving van z0. Wij zeggen dat f holomorf is op enige niet-open verzameling A als deze functie holomorf is in een open verzameling die A bevat.

De relatie tussen reële- en complexe differentieerbaarheid is als volgt: als een complexe functie

f(x+iy)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)

holomorf is, dan hebben u en v eerste partiële afgeleiden met respect tot x en y. Deze afgeleiden voldoen aan de Cauchy-Riemann-vergelijkingen:

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad \mbox{en} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}

Als continuïteit geen gegeven is, is het omgekeerde niet noodzakelijk waar. Een eenvoudige omkering houdt in dat als u en v continue eerste partiële afgeleiden hebben en voldoen aan de Cauchy–Riemann-vergelijkingen, dat dan f holomorf is. Een meer tevredenstellende omkering, die echter veel moeilijker is te bewijzen, is de stelling van Looman-Menchoff: stel dat f continu is, met u en v (bijna overal bestaande) eerste partiële afgeleiden, dan voldoen zij aan de Cauchy–Riemann-vergelijkingen dan en slechts dan als f holomorf is.

Terminologie[bewerken]

Het woord "holomorf" werd door twee studenten van Cauchy, Briot (1817-1882) en Bouquet (1819-1895), geïntroduceerd en is afgeleid van het Griekse woord őλoς (holos) wat "geheel" betekent, En μoρφń (morphe) wat "vorm" of "uiterlijk kenmerk" betekent.[2]

Vandaag de dag prefereren vele wiskundigen de term "holomorfe functie" boven "analytische functie", aangezien de laatste term een meer algemeen concept is. Dit is ook omdat een belangrijk resultaat uit de complexe analyse is dat elke holomorfe functie complex-analytisch is, een feit dat niet direct uit de definities voortvloeit. De term "analytisch" wordt echter ook op grote schaal gebruikt.

Eigenschappen[bewerken]

Omdat complexe differentiatie lineair is en gehoorzaamt aan de product-, quotiënt-, en kettingregels zijn de sommen, producten en composities van holomorfe functies ook holomorf, en is het quotiënt van twee holomorfe functies ook holomorf, tenminste wanneer de noemer ongelijk is aan nul.

Als men C met R2 identificeert, dan vallen de holomorfe functies samen met die functies van twee reële variabelen met continue eerste afgeleiden die de Cauchy-Riemann-vergelijkingen oplossen, een verzameling van twee partiële differentiaalvergelijkingen.

Elke holomorfe functie kan worden gescheiden in een reëel en een imaginaire deel, en elk van deze is een oplossing van de Laplace-vergelijking op R2. Met andere woorden, als we een holomorfe functie f(z) uitdrukken als u(xy) + i v(xy) dan zijn zowel u als v harmonische functies.

In regio's waar de eerste afgeleide niet nul is, zijn holomorfe functies hoekgetrouwe afbeeldingen, in de zin dat zij hoeken en vorm (maar niet de omvang) van kleine figuren bewaren.

De integraalformule van Cauchy stelt dat elke functie die holomorf is binnen een schijf volledig wordt bepaald door haar waarden op de grens van de schijf.

Elke holomorfe functie is analytisch. Dat wil zeggen dat een holomorfe functie f afgeleiden van elke orde heeft op elk punt a in haar domein, en dat de holomorfe functie samenvalt met haar eigen Taylorreeks op a in de omgeving van a. In feite valt f samen met de Taylorreeks op a in elke willekeurige schijf die op dat punt is gecentreerd en die binnen het domein van de functie ligt.

Vanuit een algebraïsch standpunt, is de verzameling van holomorfe functies op een open verzameling een commutatieve ring en een complexe vectorruimte. In feite is deze verzameling een lokale convexe topologische vectorruimte, waar de seminormen de suprema op de compacte deelverzamelingen zijn.

Voorbeelden[bewerken]

Alle polynomiale functies in z met complexe coëfficiënten zijn holomorf op 'C', net als de sinus, cosinus en de exponentiële functie. (De goniometrische functies zijn in feite nauw verband met en kunnen worden gedefinieerd op basis van de exponentiële functie met behulp van de formule van Euler). De belangrijkste tak van de complexe logaritme-functie is holomorf op de verzameling C \ {zR : z ≤ 0}. De vierkantswortel kan worden gedefinieerd als

\sqrt{z} = e^{\frac{1}{2}\log z}

en is daarom holomorf waar de logaritme log(z) ook maar is. De functie 1/z is holomorf op {z : z ≠ 0}.

Typische voorbeelden van niet holomorfe continue functies zijn complexe conjugatie en het nemen van het reële deel.

Als gevolg van de Cauchy-Riemann-vergelijkingen, moet een reëelwaardige holomorfe functie constant zijn. Daarom is de absolute waarde van z en het argument van z niet holomorf.

Verschillende variabelen[bewerken]

Een complexe analytische functie van meer complexe variabelen wordt als analytisch en holomorf op een punt gedefinieerd als deze functie lokaal uitbreidbaar is (binnen een polydisk, een cartesisch product van schijven, die op dat punt gecentreerd zijn) als een convergente machtsreeks in de variabelen. Deze voorwaarde is sterker dan de Cauchy-Riemann-vergelijkingen; in feite kan als volgt worden gesteld:

een functie van meerdere complexe variabelen is holomorf dan en slechts dan als zij voldoet aan de Cauchy-Riemann-vergelijkingen en lokaal kwadraat-integreerbaar is.

Uitbreiding naar de functionaalanalyse[bewerken]

Het concept van een holomorfe functie kan worden uitgebreid naar de oneindig-dimensionale ruimten van de functionaalanalyse. Bijvoorbeeld: de Fréchet- of Gâteaux-afgeleide kunnen worden gebruikt om een notie van een holomorfe functie over het veld van de complexe getallen te definiëren op een Banachruimte.

Bronnen[bewerken]

  1. Springer Online Reference Books, [http:// mathworld.wolfram.com/RegularFunction.html Wolfram MathWorld]
  2. Markushevich, A.I.; Silverman, Richard A. (ed.), Theory of functions of a Complex Variable, 2nd ed., American Mathematical Society, New York [1977], 2005, p. 112 ISBN 0-8218-3780-X.