Taylorreeks

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Taylorreeksontwikkeling van ln(x) (resp. 1, 2, 3, en 10 termen)

In de analyse, een deelgebied van de wiskunde, is een taylorreeks of taylorontwikkeling de voorstelling of benadering van een functie als een oneindige reeks van termen die worden berekend uit de waarden van de afgeleiden van deze functie op een bepaald punt.

Het concept van een taylorreeks werd door de Schotse wiskundige James Gregory ontdekt en in 1715 formeel geïntroduceerd door de Engelse wiskundige Brook Taylor. Wanneer de taylorreeks is gecentreerd op nul dan noemt men deze reeks ook wel een Maclaurin-reeks, dit naar de Schotse wiskundige Colin Maclaurin, die in de 18e eeuw op grote schaal gebruik gemaakte van taylorreeksen.

Het is gebruikelijk om een ​​functie te benaderen door een eindig aantal termen van haar taylorreeks te gebruiken. De stelling van Taylor geeft kwantitatieve schattingen van de fout in deze benadering. Elk eindig getal van initiële termen van de taylorreeks van een functie wordt een Taylor-polynoom genoemd. De taylorreeks van een functie is de limiet van de Taylorpolynomen van die functie, als deze limiet tenminste bestaat. Een functie hoeft niet gelijk te zijn aan haar taylorreeks, zelfs als de taylorreeks van deze functie op ieder punt convergeert. Een functie die in een open interval (of een schijf in het complexe vlak) gelijk is aan zijn eigen taylorreeks, staat bekend als een analytische functie.

Definitie[bewerken]

De taylorreeks van een reële- of complexwaardige functie ƒ(x) die oneindig differentieerbaar is op een reëel- of complex getal a is de machtreeks

f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots.

Dit kan in de meer compacte sigmanotatie worden geschreven als

 \sum_{n=0} ^{\infty} \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}

waar n! de faculteit van n aangeeft en waar ƒ(n)(a) voor de n-e afgeleide van ƒ geëvalueerd op het punt a staat. De afgeleide van orde nul ƒ wordt als ƒ gedefinieerd, terwijl (x - a)0 en 0! beide als 1 zijn gedefinieerd. In geval a = 0 spreekt men ook wel van de Maclaurinreeks.

Analytische functie[bewerken]

Als een functie in een omgeving van het ontwikkelingspunt x0 gelijk is aan de reekssom van haar taylorreeks, wordt ze analytisch in x0 genoemd. Een functie die analytisch is in alle punten van haar domein, heet kortweg analytisch. Voorbeelden van zulke functies zijn de goniometrische functies sinus en cosinus en de exponentiële functie.

Van een analytische functie kunnen alle waarden in een samenhangende omgeving van een punt bepaald worden uit de functiewaarde en de waarde van alle afgeleiden in dat ene punt. Dat wil nog niet zeggen dat de taylorreeks convergeert in alle waarden x uit die omgeving, zoals blijkt uit het volgende voorbeeld.

f(x)={1\over1+x^2},\ x\in\mathbb{R}

De functie f is analytisch in haar hele domein. Haar taylorreeks in x0=0

\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}=1-x^2+x^4-x^6+\ldots

convergeert evenwel slechts voor x strikt tussen -1 en +1.

Complexe functie[bewerken]

Ook voor complexe functies spreekt men van taylorreeks. Een complexe functie waarvoor de eerste afgeleide bestaat heet een analytische functie. Differentieerbaarheid voor complexe functies is een dusdanig sterke eis, dat van een analytische functie ook alle hogere afgeleiden bestaan. Van een in het interval |z - z0| < r voor complexe z differentieerbare functie f geldt voor de taylorreeks:

f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_0)^n voor |z - z0| < r

Ontwikkelingen[bewerken]

Binomiaalontwikkeling[bewerken]

(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \ldots \,

Reeksontwikkeling van exponentiële en logaritmische functies[bewerken]

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots \,
a^x = 1 + x\ln(a) + \frac{\left(x\ln(a)\right)^2}{2!} + \frac{\left(x\ln(a)\right)^3}{3!} + \ldots \, met a \in \mathbb{R}
\ln(1+x)= x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}

Reeksontwikkeling van goniometrische functies[bewerken]

\sin(x)= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots \,
\cos(x)= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots \,
\tan(x)= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \ldots \,
\sec(x)= 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + \frac{61x^6}{720} + \ldots \,
\arcsin(x)= x + \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} + \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{x^5}{5} + \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6}\frac{x^7}{7} + \ldots \,
\arccos(x)= \frac{\pi}{2} - \arcsin(x) = \frac{\pi}{2} - x - \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} - \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{x^5}{5} - \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6}\frac{x^7}{7} - \ldots \,
\arctan(x)= x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \ldots \, voor x^2 \leq 1

De reële functie x\mapsto\arctan(\frac1x) heeft niet als dusdanig een reeksontwikkeling in x=0, omdat ze er een discontinuïteit vertoont (linkerlimiet en rechterlimiet verschillen één gestrekte hoek). Door functiewaarden te beschouwen op een geheel veelvoud van \pi na, kunnen we toch een soort reeksontwikkeling schrijven:

\arctan(x)= \frac{\pi}{2} - \frac{1}{x} + \frac{1}{3x^3} - \frac{1}{5x^5} + \frac{1}{7x^7} + \ldots \, voor x^2 > 1 \,

Reeksontwikkeling van hyperbolische functies[bewerken]


\begin{align}
\sinh (x) &= x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\\
\cosh (x) &= 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}
\\
\tanh (x) &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots && = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, && \left |x \right | < \frac {\pi} {2}
\\
\coth (x) &= \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots && = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, && 0 < \left |x \right | < \pi
\\
\operatorname {sech}\, (x) &= 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , && \left |x \right | < \frac {\pi} {2}
\\
\operatorname {csch}\, (x) &= \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots && = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , && 0 < \left |x \right | < \pi
\end{align}

Zie ook[bewerken]