Taylorreeks

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Taylorreeksontwikkeling van ln(x) (resp. 1, 2, 3, en 10 termen)

Een taylorreeks of taylorontwikkeling is in de wiskunde, speciaal in de analyse, de voorstelling of benadering van een functie als een machtreeks met coëfficiënten die op een factor na de verschillende orden afgeleiden van de functie in een bepaald punt zijn. De reeks is genoemd naar de Engelse wiskundige Brook Taylor.

In het bijzonder is de taylorreeks van een functie f die in een interval |x - x0| < r oneindig vaak differentieerbaar is, de machtreeks:

\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}.

Als voor het punt van ontwikkeling x0 = 0 gekozen wordt, heet de reeks ook wel een Maclaurin-reeks naar de Schotse wiskundige Colin Maclaurin.

Analytische functie[bewerken]

Als een functie in een omgeving van het ontwikkelingspunt x0 gelijk is aan de reekssom van haar taylorreeks, wordt ze analytisch in x0 genoemd. Een functie die analytisch is in alle punten van haar domein, heet kortweg analytisch. Voorbeelden van zulke functies zijn de goniometrische functies sinus en cosinus en de exponentiële functie.

Van een analytische functie kunnen alle waarden in een samenhangende omgeving van een punt bepaald worden uit de functiewaarde en de waarde van alle afgeleiden in dat ene punt. Dat wil nog niet zeggen dat de taylorreeks convergeert in alle waarden x uit die omgeving, zoals blijkt uit het volgende voorbeeld.

f(x)={1\over1+x^2},\ x\in\mathbb{R}

De functie f is analytisch in haar hele domein. Haar taylorreeks in x0=0

\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}=1-x^2+x^4-x^6+\ldots

convergeert evenwel slechts voor x strikt tussen -1 en +1.

Complexe functie[bewerken]

Ook voor complexe functies spreekt men van taylorreeks. Een complexe functie waarvoor de eerste afgeleide bestaat heet een analytische functie. Differentieerbaarheid voor complexe functies is een dusdanig sterke eis, dat van een analytische functie ook alle hogere afgeleiden bestaan. Van een in het interval |z - z0| < r voor complexe z differentieerbare functie f geldt voor de taylorreeks:

f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_0)^n voor |z - z0| < r

Binomiaalontwikkeling[bewerken]

(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \ldots \,

Reeksontwikkeling van exponentiële en logaritmische functies[bewerken]

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots \,


a^x = 1 + x\ln(a) + \frac{\left(x\ln(a)\right)^2}{2!} + \frac{\left(x\ln(a)\right)^3}{3!} + \ldots \, met a \in \mathbb{R}


\ln(1+x)= x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}

Reeksontwikkeling van goniometrische functies[bewerken]

\sin(x)= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots \,


\cos(x)= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots \,


\tan(x)= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \ldots \,


\sec(x)= 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + \frac{61x^6}{720} + \ldots \,


\arcsin(x)= x + \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} + \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{x^5}{5} + \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6}\frac{x^7}{7} + \ldots \,


\arccos(x)= \frac{\pi}{2} - \arcsin(x) = \frac{\pi}{2} - x - \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} - \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{x^5}{5} - \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6}\frac{x^7}{7} - \ldots \,


\arctan(x)= x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \ldots \, voor x^2 \leq 1

De reële functie x\mapsto\arctan(\frac1x) heeft niet als dusdanig een reeksontwikkeling in x=0, omdat ze er een discontinuïteit vertoont (linkerlimiet en rechterlimiet verschillen één gestrekte hoek). Door functiewaarden te beschouwen op een geheel veelvoud van \pi na, kunnen we toch een soort reeksontwikkeling schrijven:

\arctan(x)= \frac{\pi}{2} - \frac{1}{x} + \frac{1}{3x^3} - \frac{1}{5x^5} + \frac{1}{7x^7} + \ldots \, voor x^2 > 1 \,


Reeksontwikkeling van hyperbolische functies[bewerken]


\begin{align}
\sinh (x) &= x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\\
\cosh (x) &= 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}
\\
\tanh (x) &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots && = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, && \left |x \right | < \frac {\pi} {2}
\\
\coth (x) &= \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots && = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, && 0 < \left |x \right | < \pi
\\
\operatorname {sech}\, (x) &= 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , && \left |x \right | < \frac {\pi} {2}
\\
\operatorname {csch}\, (x) &= \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots && = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , && 0 < \left |x \right | < \pi
\end{align}

Zie ook[bewerken]