Faculteit (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5 040
8 40 320
9 362 880
10 3 628 800
11 39 916 800
12 479 001 600
13 6 227 020 800
14 87 178 291 200
15 1 307 674 368 000
16 20 922 789 888 000
17 355 687 428 096 000
18 6 402 373 705 728 000
19 121 645 100 408 832 000
20 2 432 902 008 176 640 000

De faculteit van een natuurlijk getal n, genoteerd als n! (n faculteit), is gedefinieerd als het product van de getallen 1 tot en met n:

 n!=\prod_{k=1}^n k = 1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot n

Dit is het product van de getallen van 1 tot en met n. Recursief geldt dus voor de faculteit:

n!  = n(n-1)!

De faculteitsfunctie groeit snel, zelfs sneller dan een exponentiële functie. De eerste 20 waarden, met nul, staan hiernaast.

Voorbeelden[bewerken]

  • combinatoriek
De faculteit wordt in de combinatoriek gebruikt als antwoord op de vraag op hoeveel manieren n elementen kunnen worden gerangschikt. Zo'n rangschikking heet een permutatie en daarvan zijn er n!. Met behulp van dit resultaat worden ook de aantallen variaties en combinaties afgeleid. Om goed te kunnen rekenen is in overeenstemming hiermee n=0 gedefiniëerd:
0! = 1.
Er geldt:
1! = 1=1 × 0!.
  • delen van twee faculteiten die dicht bij elkaar liggen
\frac{(n+1)!}{(n-1)!} = n\ (n+1)
  • aantal decimalen
Het aantal decimalen van n! is gelijk aan log 1 + .. + log n, naar boven afgerond, ofwel
\lceil \log n! \rceil = \left \lceil \sum_{i=1}^n \log i \right \rceil
Voor n = 1 000 komt het aantal decimalen op 2 568.
De logaritme is de decimale logaritme, met grondtal 10.

Benadering[bewerken]

n n! benadering door Stirling
10 3 628 800 3 598 695,624
20 0,24329 · 1019 0,2422 · 1019
30 0,26525 · 1033 0,2645 · 1033
40 0,8159 · 1048 0,8142 · 1048
50 0,3041 · 1065 0,3036 · 1065
100 0,9333 · 10158 0,9325 · 10158
1000 4,024 · 102567 4,024 · 102567
10 000 2,846 · 1035 659 2,846 · 1035 659

Voor grote waardes van n, kan men de faculteit van dat getal ook benaderen met behulp van de formule van Stirling:

n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n

Voor kleine waarden van n is de benadering slecht; voor n=1 geldt bijvoorbeeld:

1!=1, maar \sqrt{2\pi\cdot 1}\left(\frac{1}{e}\right)^1= 0{,}92214...

Onderstaande tabel geeft voor een aantal waarden voor n de bijhorende waarde voor n! en de benadering volgens Stirling:

Gammafunctie[bewerken]

Grafiek van de Gammafunctie

De gammafunctie

\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt

is, voor gehele getallen, een verschoven versie van de faculteitsfunctie:

\!\Gamma(n+1) = n!.

De gammafunctie is voor alle complexe getallen gedefinieerd, met uitzondering van de negatieve gehele getallen -1, -2, -3, ... .

Met de computer[bewerken]

Voorbeeld in de programmeertaal PHP dat een HTML-fragment produceert:

$max = 20;
$nArray[0] = 1;
 
for ($n = 1; $n <= $max; $n++)
	$nArray[$n] = ($nArray[($n - 1)] * $n);
 
foreach ($nArray as $key => $value)
	print $key . ' ' . $value . '<br />';

In C++:

int input = 10;
int antwoord = 1;
for (int i = 1; i <= input; i++)
	antwoord *= i;
std::cout << "De faculteit van " << i << " is: " << antwoord;

In Visual Basic

Dim intA As Double
Dim intB As Integer
Dim intC As Double
intA = 10
intC = 1
For intB = 2 To intA
    intC = intC * intB
Next
MsgBox ("De faculteit van " & intA & " is: " & intC)

Zie ook[bewerken]