Faculteit (wiskunde)

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40.320
9	362.880
10	3.628.800
11	39.916.800
12	479.001.600
13	6.227.020.800
14	87.178.291.200
15	1.307.674.368.000
16	20.922.789.888.000
17	355.687.428.096.000
18	6.402.373.705.728.000
19	121.645.100.408.832.000
20	2.432.902.008.176.640.000

De faculteit van een natuurlijk getal n, genoteerd als n! (n faculteit), is gedefinieerd als het product van de getallen 1 tot en met n:

$n!=\prod_{k=1}^n k = 1\cdot2\cdot3\cdot\dots\cdot n$

Dit is het product van de getallen van 1 tot en met n. Recursief geldt dus voor de faculteit:

$\!\,n! = n(n-1)!$

In overeenstemming hiermee is afgesproken dat per definitie voor n=0 geldt:

$\!\,0! = 1.$

Dan geldt de recursieve relatie ook n=1:

$\!\,1! = 1=1\cdot 0!.$

De faculteitsfunctie groeit snel, zelfs sneller dan een exponentiële functie. De eerste 20 waarden (plus nul) staan hiernaast.

Gebruik

De faculteit wordt gebruikt in de combinatoriek als antwoord op de vraag op hoeveel manieren n elementen gerangschikt kunnen worden. Zo'n rangschikking heet een permutatie en daarvan zijn er n!. Met behulp van dit resultaat worden ook de aantallen variaties en combinaties afgeleid.

Continue veralgemening

Grafiek van de Gammafunctie

De gammafunctie

$\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt$

is, voor gehele getallen, een verschoven versie van de faculteitsfunctie:

$\!\Gamma(n+1) = n!$.

Het belangrijkste verschil is dat de gammafunctie gedefinieerd is voor alle complexe getallen, met uitzondering van de negatieve gehele getallen -1, -2, -3, ... .

Benadering

Voor grote waardes van n, kan men de faculteit van dat getal ook benaderen met behulp van de formule van Stirling:

$n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$

Voor kleine waarden van n is de benadering slecht; voor n=1 geldt bijvoorbeeld:

$1!=1$, maar $\sqrt{2\pi\cdot 1}\left(\frac{1}{e}\right)^1= 0{,}92214...$

Onderstaande tabel geeft voor een aantal waarden voor n de bijhorende waarde voor n! en de benadering volgens Stirling:

n	n!	benadering door Stirling
10	3.628.800	3.598.695,624
20	0,24329 · 1019	0,2422 · 1019
30	0,26525 · 1033	0,2645 · 1033
40	0,8159 · 1048	0,8142 · 1048
50	0,3041 · 1065	0,3036 · 1065
100	0,9333 · 10158	0,9325 · 10158
1000	4,024 · 102567	4,024 · 102567
10.000	2,846 · 1035.659	2,846 · 1035.659

Rekenregels voor faculteiten

Hieronder staan een aantal rekenregels voor faculteiten. Deze kunnen aangewend worden om berekeningen te vereenvoudigen (k is een willekeurig reëel getal; i is een willekeurig natuurlijk getal).

• achterwaartse recursie

$n! = (n-1)! \cdot n$

$(n-1)! = \frac{n!}{n}$

$\frac{n!}{(n-1)!} = n$

• voorwaartse recursie

$n! = \frac{(n+1)!}{n+1}$

$(n+1)! = (n+1) \cdot n!$

$\frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}$

• delen van twee faculteiten die dicht bij elkaar liggen

$\frac{(n+1)!}{(n-1)!} = n(n+1)$

• factorisatie met machten

$\left(n!\right)^i = n^i\left[(n-1)!\right]^i$

$\left(n!\right)^i = \frac{\left[(n+1)!\right]^i}{(n+1)^i}$

$\left[(n+1)!\right]^i = \left(n!\right)^i \cdot (n+1)^i$

$\left[(kn+1)!\right]^i = \left[(kn)!\right]^i \cdot (kn+1)^i$

Met de computer

Voorbeeld in de programmeertaal PHP dat een HTML-fragment produceert:

$max = 20;
$nArray[0] = 1;
 
for ($n = 1; $n <= $max; $n++)
        $nArray[$n] = ($nArray[($n - 1)] * $n);
 
foreach ($nArray as $key => $value)
        print $key . ' ' . $value . '<br />';

In C++:

int input = 10;
int antwoord = 1;
for (int i = 1; i <= input; i++)
        antwoord *= i;
std::cout << "De faculteit van " << i << " is: " << antwoord;

Zie ook

• Gammafunctie
• Dubbelfaculteit
• Primoriaal