Primoriaal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde, speciaal in de getaltheorie is de primoriaal van een natuurlijk getal n>1, genoteerd als n#, het product van alle priemgetallen kleiner dan of gelijk aan n. De naam wordt toegeschreven aan Harvey Dubner. Zo is de primoriaal van 7, gelijk aan 210 : 7#=2 × 3 × 5 × 7=210, namelijk het product van de priemgetallen kleiner dan of gelijk aan 7. Omdat de primoriaal van een niet-priemgetal gelijk is aan de primoriaal van het kleinere dichtstbijgelegen priemgetal, spreekt men wel over een primoriaal zonder meer als het product van de eerste priemgetallen tot en met een zeker priemgetal. De eerste primorialen zijn:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410. [1]

De grootte van opeenvolgende primorialen neemt snel toe.

Het product van priemgetallen komt voor in het bewijs van de oneindigheid van de priemgetallen; het wordt toegepast om aan te tonen dat er geen grootste, dus eindig, priemgetal kan zijn.

Primorialen spelen een rol in de zoektocht naar opeenvolgende priemgetallen in rekenkundige rijen. Zo is het getal 2236133941 + 23# een priemgetal dat het begin is van een rekenkundige rij met verschil 23# waarvan de eerste dertien termen priemgetallen zijn. Overigens is de primoriaal 23# ook het verschil in rekenkundige rijen met vijftien en zestien opeenvolgende priemgetallen.

Ieder hogelijk samengesteld getal is een product van primorialen (bijvoorbeeld 360 = 2 × 6 × 30).


Een priemgetal p van de vorm


p = P \pm 1

waar P een primoriaal is wordt een primoriaal priemgetal genoemd.

Tabel van primorialen[bewerken]

p p# (p priemgetal)
2 2
3 6
5 30
7 210
11 2310
13 30030
17 510510
19 9699690
23 223092870
29 6469693230
31 200560490130
37 7420738134810
41 304250263527210
43 13082761331670030
47 614889782588491410
53 32589158477190044730
59 1922760350154212639070
61 117288381359406970983270
67 7858321551080267055879090
71 557940830126698960967415390
73 40729680599249024150621323470
79 3217644767340672907899084554130
83 267064515689275851355624017992790
89 23768741896345550770650537601358310
97 2305567963945518424753102147331756070
Bronnen, noten en/of referenties
  • Factorial en primorial primes. J. Recr. Math., 19, 1987, 197-203
  1. rij A002110 in OEIS