Formule van Stirling

De formule van Stirling is een benadering voor de faculteit van grote getallen. De formule luidt:

$n! \approx \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac ne \right)^n \!$

Dit betekent ruwweg dat het rechterlid voor voldoende grote n als benadering geldt voor n!. Om precies te zijn:

$\lim_{n \rightarrow \infty} {n!\over \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n} } = 1. \!$

De formule is het resultaat van de eerste drie termen uit de ontwikkeling:

$\ln (n!)=n\ln (n) - n + {1\over 2}\ln(2\pi n) +{1\over12n} -{1\over360n^3} +{1\over1260n^5} -{1\over 1680n^7} +\cdots .\!$

De formule komt ook voor met alleen de eerste twee termen:

$\ln(n!) \sim n \; \ln(n) - n \,$

wat asymptotisch gelijkwaardig is.

Deze formule werd ontdekt door De Moivre in een iets andere vorm, namelijk:

$n! \sim c \; \sqrt{n} \; \left(\frac ne \right)^n$.

James Stirling, naar wie de formule genoemd is, toonde aan dat de constante c gelijk is aan $\sqrt{2 \pi}$.

Enkele waarden

In de onderstaande tabel staan ter vergelijking voor enkele waarden van n de relevante grootheden opgesomd.

n	ln(n!)	n ln(n) - n	fout
10	15	13	13%
30	75	72	4%
50	148	146	1.4%
100	363	360	0.8%
1000	5912	5907	0.1%
10000	82108.9	82103.4	< 0.01%

Toepassingen

De formule is in praktijk belangrijk voor veel toepassingen in de thermodynamica en vandaar ook in de scheikunde (thermochemie).