Gammafunctie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Grafiek van de gammafunctie Γ(x) voor reële getallen x tussen −5 en 5

In de wiskunde is de gammafunctie, weergegeven door de Griekse hoofdletter Γ, een speciale functie die een analytische voortzetting vormt van de faculteitsfunctie naar de reële en complexe getallen. Voor een complex getal z met een positief reëel deel wordt de gammafunctie gedefinieerd door

\Gamma(z) = \int_0^{\infty} t^{z-1} e^{-t} \mathrm{d}t.

Deze integraal convergeert, als het reële deel van z groter is dan 0. De definitie kan door analytische voortzetting worden uitgebreid naar de rest van het complexe vlak, met uitzondering van de negatieve gehele getallen, waar sprake is van polen.

Als n een positief geheel getal is, geldt

 \Gamma(n) = (n-1)!

wat meteen de relatie met de faculteitsfunctie laat zien.

De gammafunctie speelt een rol in verschillende kansverdelingen, en wordt in die hoedanigheid gebruikt in de kansrekening, de statistiek en de combinatoriek.

Motivatie[bewerken]

Het is gemakkelijk om de faculteitsfunctie grafisch weer te geven voor niet-geheeltaliige waarden, maar bestaat er een formule die de resulterende kromme beschrijft?

De gammafunctie kan worden gezien als een oplossing voor het interpolatieprobleem:

"Is er een gladde kromme in het vlak die gaat door de punten (n, n!), voor natuurlijke getallen n > 0".

Een grafiek van de eerste paar faculteiten maakt aannemelijk dat een dergelijke kromme wel kan worden getekend. De vraag is echter of een dergelijke kromme in elementaire functies kan worden uitgedrukt, waarin het aantal operaties niet afhankelijk is van n. De definitie van n! kan niet rechtstreeks uitgebreid worden naar fractionele waarden van n. Elke combinatie van sommen, producten, machten, exponentiële functies of logaritmen met een vast aantal termen zal niet volstaan om n! uit te drukken. Het is echter mogelijk om een algemene formule voor faculteiten te vinden, gebruikmakend van instrumenten als integralen en limieten uit de differentiaalrekening. Een goede oplossing hiervoor is de gammafunctie.

Er zijn oneindig veel continue uitbreidingen van de faculteitsfunctie naar de niet-gehele getallen: er kunnen oneindig veel krommen getekend worden door enige verzameling van geïsoleerde punten. De gammafunctie wordt gekenmerkt doordat zij vanaf 0 over de positieve gehele getallen analytisch is, doordat de gammafunctie in de praktijk goed te gebruiken is en tenslotte doordat zij op verschillende manieren kan worden gekarakteriseerd.

Definitie[bewerken]

De uitgebreide versie van de gammafunctie in het complexe vlak

Voor complexe getallen z met een positief reëel deel (Re(z) > 0), is de integraal

\Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,dt

absoluut convergent en wordt gammafunctie genoemd.

De notatie Γ(z) is ingevoerd door Legendre.

Gebruikmakend van partiële integratie, kan men aantonen dat

\Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z) \qquad \text{(1)}

Deze functionele vergelijking is gelijkwaardig aan de eigenschap n! = n(n − 1)! van de faculteitsfunctie. Voor Γ(1) geldt:

 \Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t}\, dt = \left. -e^{-t} \right|_0^\infty = -0 - (-1) = 1 \qquad\text{(2)}

Wanneer men deze twee resultaten combineert volgt door inductie dat de faculteitsfunctie een vertaling is van een speciaal geval van de gammafunctie:

\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n) = n \, (n-1) \, \Gamma(n-1) = \cdots = n! \, \Gamma(1) = n!\,

voor alle natuurlijke getallen n.

De identiteit (1) kan ook worden gebruikt om Γ(z) door analytische voortzetting uit te breiden tot een meromorfe functie, die wordt gedefinieerd voor alle complexe getallen z, behalve 0 en de negatieve gehele getallen (het kan worden berekend dat z = −n een eenvoudige pool met residu (−1)n / n! [1] is.

Het is deze uitgebreide versie die gewoonlijk wordt aangeduid als de gammafunctie.

Alternatieve definities[bewerken]

De volgende oneindig product definities voor de gammafunctie, die respectievelijk zijn opgesteld door Leonhard Euler en Karl Weierstrass, zijn geldig zijn voor alle complexe getallen z, met uitzondering van nul en de negatieve gehele getallen


\begin{align}
\Gamma(z) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)} 
= \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z}{1+\frac{z}{n}}
\\
\Gamma(z) &= \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n} \\
\end{align}

waar γ de constante van Euler-Mascheroni is.

Het is eenvoudig aan te tonen dat de definitie van Euler als volgt voldoet aan de functionele vergelijking (1) hierboven. Mits z niet gelijk is aan 0, −1, −2, ... geldt


\begin{align}
\Gamma(z+1) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^{z+1}}{(z+1) \; (z+2)\cdots(z+n+1)} \\
&= \lim_{n \to \infty} \left( z \; \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1) \; (z+2)\cdots(z+n)} \; \frac{n}{(z+n+1)}\right) \\
&= z \; \Gamma(z) \; \lim_{n \to \infty} \frac{n}{(z+n+1)} \\
&= z \; \Gamma(z). \\
\end{align}

Op een andere manier kan worden aangetoond dat ...


\Gamma(z+1) = \int_0^\infty  e^{-t^{1/z}}\,dt. \,\!

Benaderingen[bewerken]

Complexe waarden van de gammafunctie kunnen numeriek met willekeurige precisie worden berekend door gebruik te maken van benaderingsmethoden, zoals de benaderingsmethode van Stirling of de benaderingsmethode van Lanczos.

De gammafunctie kan tot een gewenste precisie voor Re(z) ∈ [1, 2] worden berekend door partiële integratie toe te passen op de Euler-integraal. Kies een willekeurig groot getal x; de gammafunctie kan dan worden geschreven als

\Gamma(z) = x^z e^{-x} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{z(z+1) \cdots (z+n)} + \int_x^\infty e^{-t} t^{z-1}\, \mathrm{d}t \,\!

en als Re(z) ∈ [1, 2], dan is de laatste integraal kleiner dan x exp(−x) < 2N. Zo kan de afwijking klein genoeg worden gemaakt om verwaarloosbaar te zijn: door het kiezen van een geschikte x kan de gammafunctie met de bovenstaande reeksen worden geëvalueerd tot n-bits precisie. Als z rationaal is, kan de berekening worden uitgevoerd met binaire splitsing in de tijd O( (log(N))2 M(N) ), waar M(N) de tijd is, die nodig is om twee N-bits getallen te vermenigvuldigen.

Voor de argumenten, die veelvouden van 1/24 zijn, kan de gammafunctie ook met behulp van numerieke methoden worden berekend.

Omdat de gamma- en faculteitsfuncties zo snel groeien voor matig-grote argumenten, bevatten vele computeromgevingen een functie die de natuurlijke logaritme van de gammafunctie geeft. Deze functie wordt in bijvoorbeeld spreadsheets aangeduid met lngamma of gammaln; deze functie stijgt veel minder snel en maakt het mogelijk dat logaritmen kunnen worden opgeteld en afgetrokken in plaats dat zeer grote getallen vermenigvuldigd of gedeeld moeten worden. De digamma-functie, een afgeleide van deze natuurlijke logaritme van de gammafunctie, wordt ook vaak gebruikt. In het kader van de technische en natuurkundige toepassingen, bijvoorbeeld voor golfvoortplanting wordt de functionele vergelijking

 \ln \Gamma(z) = \ln \Gamma(z+1) - \ln(z)

vaak gebruikt, omdat het met deze functie mogelijk is vanuit de aangrenzende strook om functiewaarden in z te bepalen in een strook met een breedte van 1. Dus beginnend met een goede benadering voor een grote |Re(z)| kan men stap voor stap teruggaan naar de gewenste z. Een aanwijzing van Carl Friedrich Gauss volgend stelde Rocktaeschel in 1922 voor lngamma een benadering voor grote |Re(z)| voor:

 \mathrm{Re}(z)= \frac{\ln(2\pi)}{2} + u \ln u - u,

waar

 u = z- \tfrac{1}{2}.

Na m stappen verkrijgt men uiteindelijk (naar P.E. Böhmer (1939))

 \ln\Gamma(z) \approx \mathrm{Re}(z+m) - \sum_{k=0}^{m-1} \ln(z+k).

Een betere benadering kan verkregen worden met behulp van asymptotische ontwikkelingen van ln Γ(z) en Γ(z), die gebaseerd zijn op de benaderingsmethode van Stirling.

Geschiedenis[bewerken]

De gammafunctie heeft de aandacht gevangen van enkele van de meest vooraanstaande wiskundigen aller tijden. De geschiedenis van de gammmafunctie, met name door Philip J. Davis in een artikel gedocumenteerd dat hem in 1963 de Chauvene-prijs opleverde, weerspiegelt sinds de 18e eeuw veel van de belangrijkste ontwikkelingen binnen de wiskunde. In de woorden van Davis, "elke generatie heeft wel iets van belang gevonden om over de gammafunctie te zeggen. Misschien zal de volgende generatie dit ook doen." [2]

18e eeuw: Euler en Stirling[bewerken]

De eerste pagina van Eulers artikel "De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt".

Het probleem van de uitbreiding van de faculteitsfunctie naar niet-geheeltallige argumenten werd blijkbaar als eerste door Daniel Bernoulli en Christian Goldbach in de jaren 1720 beschouwd, en werd aan het einde van hetzelfde decennium opgelost door Leonhard Euler. Euler gaf twee verschillende definities: de eerste was niet zijn Euler-integraal, maar een oneindig product,

n! = \prod_{k=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{k}\right)^n}{1+\frac{n}{k}},

van welke ontdekking hij Goldbach in een brief, gedateerd op 13 oktober 1729 op de hoogte stelde. Op 8 januari 1730 schreef hij opnieuw aan Goldbach om hem te informeren van de integrale representatie

n!=\int_{0}^{1}(-\log s)^{n}\, ds,

die geldig is voor n > 0. Door de verandering van de variabelen t = −log s, wordt dit de bekende Euler-integraal. Euler publiceerde zijn resultaten in het artikel "De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt" ("Over transcendentale progressies, dat wil zeggen dezen, waarvan de algemene termen niet algebraïsch kunnen worden gegeven"), ingediend bij de Academie van Sint Petersburg op 28 november 1729.[3] Euler ontdekte verder een aantal van de belangrijkste functionele eigenschappen van gammafunctie, waaronder ook de reflectieformule.

James Stirling, een tijdgenoot van Euler, heeft ook getracht een continue uitdrukking voor de faculteitsfunctie te vinden en kwam met wat nu bekendstaat als de formule van Stirling. Hoewel de formule van Stirling,, ook voor niet-gehele getallen, een goede schatting van n! geeft, geeft deze formule geen exacte waarde. Uitbreidingen van zijn formule, die de fout corrigeren, werden door Stirling zelf en door Binet gegeven.

19e eeuw: Gauss, Weierstrass en Legendre[bewerken]

Carl Friedrich Gauss schreef het Euler-product als

\Gamma(z) = \lim_{m\to\infty}\frac{m^{z}m!}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+m)}

en gebruikte deze formule om nieuwe eigenschappen van de gammafunctie te ontdekken. Hoewel Euler een pionier was in de theorie van complexe variabelen, lijkt hij de faculteit van een complex getal niet in zijn onderzoekingen te hebben meegenomen. Gauss deed dit als eerste wel[4]. Gauss bewees ook de vermenigvuldigingsstelling van de gammafunctie en onderzocht het verband tussen de gammafunctie en de elliptische integralen.

Startend vanuit nog weer een andere representatie van het product zette Karl Weierstrass de rol van de gammafunctie in de functietheorie verder kracht bij

\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{k=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{k}\right)^{-1} e^{z/k}, \,\!

waar γ ≈ 0,577216 de constante van Euler is. Weierstrass schreef zijn product oorspronkelijk als een product voor 1/Γ, in welk geval het product wordt overgenomen over de nulpunten van de functie in plaats van over haar polen. Geïnspireerd door dit resultaat, bewees hij de stelling, die bekendstaat als de factorisatiestelling van Weierstrass — dat elke gehele functie geschreven kan worden als een product over haar nulpunten in het complexe vlak, een veralgemening van de hoofdstelling van de algebra.

De naam gammafunctie en het symbool Γ werden rond 1811 door Legendre geïntroduceerd; Legendre herschreef ook de definitie van de Euler-integraal in haar moderne vorm. Hoewel het symbool een Griekse Gamma in hoofdlettervorm is, is er geen aanvaarde standaard of de naam moet worden geschreven als "Gammafunctie" of als "gammafunctie", sommige auteurs schrijven gewoon "Gamma-functie". Het alternatieve "Pi functie"

\Pi(z)=z!,

dat door Gauss is geïntroduceerd, wordt soms in oudere literatuur aangetroffen, maar in moderne literatuur komt de notatie van Legendre het meeste voor. Het is merkwaardig dat de notatie

\Gamma(n+1)=n! is in plaats van \Gamma(n)=n! te gebruiken.

De normalisatie vereenvoudigt sommige formules, maar compliceert anderen.

19e-20e eeuw: karakterisering van de gamma-functie[bewerken]

Het is enigszins problematisch dat er een groot aantal definities voor de gamma-functie zijn gegeven. Hoewel ze dezelfde functie beschrijven, is het enigszins problematisch om de equivalentie van de verschillende definities te bewijzen. Stirling heeft nooit bewezen dat zijn uitgebreide formule precies overeenkomt met de gammafunctie van Euler; een bewijs hiervoor werd in 1900 voor het eerst gegeven door Charles Hermite.[5] In plaats van voor elke formule te proberen een gespecialiseerde bewijs te vinden, zou het wenselijk zijn om over een algemene methode te beschikken om de gammafunctie te identificeren.

Een manier om dit te bereiken zou het vinden van een differentiaalvergelijking zijn, die de gammafunctie karakteriseert. De meeste speciale functies in de toegepaste wiskunde ontstaan als oplossingen voor differentiaalvergelijkingen, waarvan de oplossingen uniek zijn. De gammafunctie lijkt echter niet te voldoen aan enige eenvoudige differentiaalvergelijking. Otto Hölder bewees in 1887 dat de gammafunctie op zijn minst niet voldoet aan enige algebraïsche differentiaalvergelijking door aan te tonen dat een oplossing voor een dergelijke vergelijking niet kan voldoen aan de herhalingsformule voor de gammafunctie. Dit resultaat staat bekend als stelling van Hölder.

Een duidelijke en algemeen toepasbare karakterisering van de gammafunctie werd pas in 1922 gegeven. Harald Bohr en Johannes Mollerup bewezen toen de stelling die nu bekendstaat als de stelling van Bohr-Mollerup: deze stelling houdt in dat de unieke oplossing voor de faculteit herhalingsrelatie, die positief en logaritmisch convex is voor positieve waarden van z en waarvan de waarde op 1 gelijk is aan 1. Een functie is logaritmisch convex als haar logaritme convex is.

De stelling van Bohr-Mollerup is nuttig omdat het relatief gemakkelijk is om logaritmische convexiteit te bewijzen voor alle van de verschillende formules die worden gebruikt om de gammafunctie te definiëren. Als men de dingen verder voert, in plaats van de gammafunctie te definiëren door een bepaalde formule, zou men in plaats daarvan de stelling van Bohr-Mollerup als de definitie van de gammafunctie kunnen kiezen, om daarna elke formule, die men graag heeft en die voldoet aan deze voorwaarden, als uitgangspunt voor het bestuderen van de gammafunctie te nemen. Deze aanpak werd gebruikt door de Bourbaki en zijn collega's.

Eigenschappen[bewerken]

Door partiële integratie is te zien dat

\Gamma(z+1)=z\Gamma(z).\,

Samen met Γ(1) = 1 geeft dit

\Gamma(n+1)=n!\,

voor alle natuurlijke getallen n. Een andere nuttige waarde van de gammafunctie is

\Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}.

Met de relatie Γ(z + 1) = z Γ(z) kan hieruit worden afgeleid dat

\Gamma(n+\tfrac{1}{2})=\frac{(2n)!}{n! \cdot 2^{2n}}\sqrt{\pi}=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}

voor alle natuurlijke getallen n.

De relatie Γ(z + 1) = z Γ(z) kan ook gebruikt worden om de gammafunctie voort te zetten tot een analytische functie op het gehele complexe vlak met uitzondering van de niet-positieve gehele getallen. Deze analytische voortzetting, die zelf ook gammafunctie heet, heeft geen nulpunten. In z = −n met n een natuurlijk getal heeft de gammafunctie een pool van orde 1 met residu

\operatorname{Res}(\Gamma,-n)=\frac{(-1)^n}{n!}.

Er is ook een andere formule voor de gammafunctie, die geldt voor alle complexe getallen die geen gehele getallen kleiner dan of gelijk aan 0 zijn:

\Gamma(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}e^{z/n}.

Hierin is \gamma de constante van Euler-Mascheroni.

Zie ook[bewerken]

Voetnoten[bewerken]

  1. George Allen and Unwin, Ltd, The Universal Encyclopedia of Mathematics (De universele wiskunde-encyclopedie. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964.
  2. Davis, P.J. (1959). "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function", The American Mathematical Monthly, Vol. 66, nr. 10 (december, 1959), pag. 849-869 [1]
  3. Eulers artikel werd gepubliceerd in de Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 5, 1738, 36-57. Zie E19 -- De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice Dari nequeunt, uit het Euler-archief, wat een gescande kopie van het oorspronkelijke artikel bevat. Een Engelse vertaling door S. Langton is ook beschikbaar.
  4. Remmert, R., vertaald door Kay, L.D., Classical Topics in Complex Function Theory, Springer, 2006, ISBN 0-387-98221-3
  5. Knuth, D.E., The Art of Computer Programming, Volume 1 (Fundamental Algorithms), Addison-Wesley, 1997))

Externe bronnen[bewerken]

  • (en) Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).
  • (en) W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (zie sectie 6.1.)
  • N.M. Temme. Speciale Functies in de Mathematische Fysica. Epsilon Uitgaven 15, Utrecht, 1990. (zie hoofdstuk 2.)