Oneindig product

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde wordt voor een rij van getallen a1, a2, a3, ... het oneindig product

\prod_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 \; a_2 \; a_3 \cdots

gedefinieerd als de limiet van de gedeeltelijke producten a1a2...an als n zonder begrenzing toeneemt. Van het product zegt men dat dit convergeert, wanneer de limiet bestaat en ongelijk is aan nul. Anders zegt men dat het product divergeert. De waarde nul wordt speciaal behandeld om resultaten te verkrijgen, die analoog zijn aan die voor oneindige sommen. Als het product convergeert, dan moet de limiet van de reeks an als n zonder begrenzing toeneemt gelijk zijn 1, dit terwijl het omgekeerde in het algemeen niet waar is. Daarom is de logaritme log an voor alle, behalve een eindig aantal n, worden gedefinieerd voor deze hebben wij

\log \prod_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \log a_n

met het product aan de linkerzijde dan en slechts dan convergerend als de som aan de rechterzijde convergeert. Dit laat de vertaling toe van convergentiecriteria voor oneindige sommen naar convergentiecriteria voor oneindige producten.

Voor producten waarin elke a_n\ge1, bijvoorbeeld geschreven als a_n=1+p_n, waar p_n\ge 0,laten de grenzen

1+\sum_{n=1}^{N} p_n \le \prod_{n=1}^{N} \left( 1 + p_n \right) \le \exp \left( \sum_{n=1}^{N}p_n \right)

zien dat het oneindige product precies convergeert als de oneindige som van de pn convergeert.

De bekendste voorbeelden van oneindige producten zijn waarschijnlijk enkele van de formules voor π, zoals de onderstaande twee producten, respectievelijk door François Viète en John Wallis (Wallis-product):

\frac{2}{\pi} = \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} }{ 2 } \cdots
\frac{\pi}{2} =  \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{ 4 \cdot n^2 }{ 4 \cdot n^2 - 1 } \right).

Zie ook[bewerken]

Externe link[bewerken]