Limiet

Het woord limiet is afkomstig van het Latijnse "limes", dat "grens" betekent. In de wiskunde kan het begrip limiet of grenswaarde goed gedemonstreerd worden met het volgende voorbeeld. De getallen uit de rij 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... naderen steeds dichter de grenswaarde 0. Het getal 0 is dan ook de limiet van deze rij.

Limiet van een rij getallen

Zie Limiet van een rij voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Voor elke ε bestaat een N (hier S) zodat de functie voor waarden groter dan N in het interval ]L- ε,L+ ε[ ligt

Een rij getallen $x_1, x_2, x_3, \dots$ heeft een limiet L, genoteerd als:

$\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=L$ (dat wil zeggen, de limiet voor n naar oneindig van $\ x_n$ is L),

als de getallen van de rij willekeurig dichtbij $L$ in de buurt komen. De exacte definitie is:

als voor elke $\epsilon>0$ er een getal $N$ bestaat, zodanig dat voor alle $n>N$ geldt dat $|x_n -L|<\epsilon$.

Als een rij een limiet heeft, heet hij convergent, anders divergent.

Limiet van een rij in een topologische ruimte

Algemener kan men een rij $x_1,x_2,x_3,\ldots$ beschouwen van elementen in een metrische ruimte of zelfs in een abstracte topologische ruimte $(X,\mathcal{T})$. De rij heet convergent als er een element $x$ in de topologische ruimte bestaat waarvan elke willekeurig kleine omgeving een hele staart van de rij omvat. Formeel heet $x$ een limiet van de rij $x_1,x_2,x_3,\ldots$, als

$\forall U\in\mathcal{T}: x\in U\implies\exists n_0\in\mathbb{N},\forall n>n_0:x_n\in U$.

In een metrische ruimte heeft een rij hoogstens één limiet, in een algemene topologische ruimte kan eenzelfde rij verschillende limieten hebben. In een metrische ruimte wordt de topologische structuur volledig vastgelegd door de convergente rijen: de afsluiting van een verzameling bestaat uit alle limieten van rijen uit die verzameling. In een algemene topologische ruimte is dit evenmin gegarandeerd.

De algemene topologie veralgemeent het begrip rij nog tot filter. Een filter $\mathcal{F}$ convergeert naar een punt x als alle omgevingen van x tot $\mathcal{F}$ behoren. We zeggen in dat geval ook dat x een limiet is van $\mathcal{F}$. Convergentie van filters legt eenduidig de topologische structuur vast.

Limiet van een reeks getallen

Een convergente reeks is een reeks met een limiet. Deze limiet wordt de 'som' van de reeks genoemd. Een reeks zonder limiet heet divergent.

Limiet van een functie

Ook een functie kan in een bepaald punt een limiet hebben. Net als bij een rij zeggen we dat de functie f in het punt a de limiet L heeft, genoteerd als:

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$ (dat wil zeggen de limiet als x nadert tot a van f(x) gelijk is aan L),

als de functiewaarden willekeurig dicht bij L komen voor punten die dicht bij a liggen. De exacte definitie is:

als voor elke $\ \epsilon > 0$ er een $\ \delta > 0$ bestaat, zodanig dat voor alle x met $\ 0<|x-a|<\delta$ geldt dat $\ |f(x)-L|<\epsilon$.

Merk op dat het punt a zelf expliciet buiten de definitie is gelaten. De functie kan in het punt a zelf een waarde hebben verschillend van de limiet, of daar zelfs niet gedefinieerd zijn. Zo is bijvoorbeeld

$\ f(x)=x^2/x$

niet gedefinieerd voor x=0, maar het is eenvoudig in te zien dat

$\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=0$.

Linker- en rechterlimiet

Naast het begrip limiet bestaan ook nog eenzijdige limieten, en wel de rechter- (ook wel limiet van boven) en de linkerlimiet (limiet van onder).

De rechterlimiet wordt genoteerd als $\lim_{x\downarrow a}$ of als $\lim_{x \to a^+}$,

en wordt gedefinieerd door:

$\lim_{x\downarrow a}f(x)=b$

als voor elke $\epsilon > 0$ er een $\delta > 0$ bestaat, zodanig dat voor alle y met $0<y-a<\delta$ geldt dat $|b-f(y)|<\epsilon.$

De linkerlimiet ($\lim_{x\uparrow a}$ of $\lim_{x \to a^-}$) wordt analoog gedefinieerd:

$\lim_{x\uparrow a}f(x)=b$

als voor elke $\epsilon > 0$ er een $\delta > 0$ bestaat, zodanig dat voor alle y met $0<a-y<\delta$ geldt dat $|b-f(y)|<\epsilon.$

Merk op dat de limiet bestaat dan en slechts dan als de rechterlimiet en de linkerlimiet beide bestaan en aan elkaar gelijk zijn.

Limieten in oneindig

Ook kunnen we de limiet voor x naar oneindig definiëren. We zeggen we dat de functie f(x) voor x → $\infty$ de limiet L heeft, genoteerd als:

$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=L$,

als voor elke $\epsilon>0$ er een N bestaat, zodanig dat voor alle y>N geldt dat $|f(y)-L|<\epsilon$.

Oneindig als 'limiet'

Wanneer de waarde van een functie of rij willekeurig groot wordt:

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty$ dan en slechts dan als voor elke N er een $\delta > 0$ bestaat, zodanig dat voor alle x met $0<|x-a|<\delta$ geldt dat f(x)>N.

Er is een verband met limieten van rijen: als een functie f een limiet heeft voor $x\rightarrow \infty$, dan heeft de rij $x_n=f(n)$ dezelfde limiet. Het omgekeerde geldt niet altijd, omdat de rij alleen naar de functiewaarden in de gehele getallen 'kijkt'; tussen de gehele getallen kan de functie zich natuurlijk nog sterk "misdragen".

Continuïteit van een functie

Een functie f is continu in een punt a als $\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ bestaat en gelijk is aan f(a). Een functie f heet simpelweg continu als hij in alle punten van zijn definitiegebied continu is.

Enkele voorbeelden

• $\lim_{x\rightarrow 3} x^2=9$
• $\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x}=0$
• $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^2}=\infty$
• $\lim_{x\downarrow 0}\frac{\sqrt{x^2}}{x}=1$
• $\lim_{x\uparrow 0}\frac{\sqrt{x^2}}{x}=-1$
• Omdat de vorige twee ongelijk zijn, bestaat $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x^2}}{x}$ niet.
• $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$ (dit kan berekend worden met de regel van L'Hôpital)

Verklarend voorbeeld

We nemen de functie $f(x)=\frac{x+1}{x^2-1}$, en berekenen de limiet ervan in twee punten $x=0$ en $x=-1$.

x=0

Zoals in de definitie vermeld, berekenen we de functiewaarden in punten dichtbij x=0:

f(-0,1)	f(-0,01)	f(-0,001)	f(0)	f(0,001)	f(0,01)	f(0,1)
-0,909	-0,990	-0,999	$\Rightarrow$ -1 $\Leftarrow$	-1,001	-1,010	-1,111

We zien hier proberenderwijs dat de limiet van f(x) in x=0 waarschijnlijk -1 is; we noteren dit als:

$\lim_{x \to 0}f(x) = -1$.

We merken op dat de functie f gedefinieerd is voor x=0, het lijkt ons dus interessant eens te kijken wat de functiewaarde in dat punt is:

f(0)=-1

De functiewaarde in het punt 0 is gelijk aan de limiet in dat punt van de functie . Dat is de definitie van continuïteit, we kunnen stellen dat de functie f continu is in het punt x=0.

x=-1

Op dezelfde manier als hierboven berekenen we functiewaarden dichtbij x= -1:

f(-1,1)	f(-1,01)	f(-1,001)	f(-1)	f(-0,999)	f(-0,99)	f(-0,9)
-0,476	-0,498	-0,49975	$\Rightarrow$ -0,5 $\Leftarrow$	-0,5003	-0,503	-0,526

Hier vermoeden we dat de functie f een limiet heeft in x=-1, en dat deze -0,5 is:

$\lim_{x \to -1}f(x) = -0,5$.

Opnieuw kijken we of deze limiet overeenkomt met de functiewaarde in dat punt.

We zien dat de functie niet gedefinieerd is voor x=-1; de noemer wordt namelijk nul. Hier hebben we een situatie dat de limiet bestaat, maar de functiewaarde niet.

Deze merkwaardige situatie kunnen we begrijpen door de originele functie te vereenvoudigen, zodat de "eenvoudigere" functie $g(x)=\frac{1}{x-1}$ ontstaat, waarvoor de functiewaarde voor x=-1 wél gedefinieerd is (en gelijk is aan bovenstaande limiet!)

Limiet van een rij functies

Ook een rij functies $f_1,f_2,f_3,\dots$ kan een limiet hebben. De functionaalanalyse onderscheidt verschillende soorten convergentie. De meeste soorten convergentie kunnen worden opgevat als topologische convergenties, zoals hierboven bij "limiet van een rij in een topologische ruimte":

• puntsgewijze convergentie: voor elke waarde van $x$ afzonderlijk convergeert de rij $f_1(x),f_2(x),f_3(x),\ldots$. De limietfunctie $f$ beeldt $x$ af op die afzonderlijke limiet

$(\lim_{n\to\infty}f_n)(x)=\lim_{n\to\infty}(f_n(x))$

Dit is de convergentie van de producttopologie als elke functie wordt opgevat als een element uit een (oneindig) Cartesisch product.

• uniforme convergentie: voor voldoende grote indices in de staart van de functierij wordt het grootste absolute verschil tussen de limietfunctie en een lid van de rij willekeurig klein

$\lim_{n\to\infty}\sup_x|f_n(x)-f(x)|=0$

Dit is de convergentie van de metrische ruimte van de supremumnorm.

• convergentie in kwadratisch gemiddelde: de functies naderen hun limiet met willekeurig kleine kwadratische fout

$\lim_{n\to\infty}\int_x|f_n(x)-f(x)|^2dx=0$

Dit is de convergentie van de pseudometrische ruimte van de kwadratisch-gemiddelde-seminorm.

• de Lp-ruimten voor $0<p\leq\infty$ leveren nog voorbeelden van metrische structuren op verzamelingen van functies (eigenlijk functieklassen), elk met hun eigen convergentiebegrip van rijen.

Wikibooks

Wikibooks heeft een studieboek over dit onderwerp: Cursus analyse: Limieten.