Lp-ruimte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Let op: de juiste naam is L^p-ruimte .

In de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde, zijn Lp-ruimten functieruimten die zijn gedefinieerd door gebruik te maken van natuurlijke veralgemeningen van p-normen voor eindig--dimensionale vectorruimten. Zij worden soms ook Lebesgue-ruimtes genoemd naar Henri Lebesgue [1], hoewel zij volgens Bourbaki[2] in 1910 voor het eerst door Riesz[3] werden geïntroduceerd. Zij vormen een belangrijke klasse van voorbeelden van Banachruimten in de functionaalanalyse en van topologische vectorruimten. Lebesgue-ruimten vinden toepassingen in de natuurkunde, statistiek, financiën, techniek en andere disciplines

Klassieke definitie[bewerken]

Zij 1\leq p<\infty. Definieer l^p als de verzameling oneindige rijen reële getallen (a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots) met de eigenschap dat de reekssom van hun p-de machten absoluut convergeert:

\sum_{i=0}^\infty|a_i|^p<\infty.

De verzameling l^p vormt een vectorruimte met de puntsgewijze optelling van rijen en de puntsgewijze vermenigvuldiging met een reëel getal:

r.(a_i)_i + s.(b_j)_j = (ra_k+sb_k)_k \!

De p-de machtswortel van bovenstaande reekssom is een norm:

\|(a_i)_i\|_p=(\sum_{i=0}^\infty|a_i|^p)^{1\over p} \!

De hiermee geassocieerde metrische ruimte is volledig, l^p is dus een Banachruimte.

Als p>1, dan is de duale Banachruimte van l^p op natuurlijke wijze isometrisch met de Banachruimte l^q, waar {1\over p}+{1\over q}=1. De natuurlijke isometrie wordt gegeven door een rij (b_j)_j uit l^q als volgt als een functionaal te laten werken op een rij (a_i)_i uit l^p:

(a_i)_i\mapsto\sum_{i=0}^\infty a_ib_i.

De ongelijkheid van Hölder garandeert dat bovenstaande reeks absoluut convergeert. Als p=2, dan is ook q=2. De ruimte l^2 is een Hilbertruimte met als scalair product het rechterlid van bovenstaande uitdrukking.

De verzameling l^\infty bestaat uit alle begrensde reële rijen. Dit wordt een Banachruimte met de supremumnorm

\|(a_i)_i\|_\infty=\sup_{i=0}^\infty|a_i|.

De geïnduceerde topologie is die van de uniforme convergentie. Omdat, met een beetje goede wil, {1\over 1}+{1\over\infty}=1, lijkt het vanzelfsprekend dat l^\infty de duale ruimte is van l^1 en dit blijkt ook waar te zijn. Het omgekeerde is echter niet waar: l^1 komt op natuurlijke wijze overeen met een echte deelruimte van de duale van l^\infty.

Integralen[bewerken]

Naar analogie met bovenstaande l^p-ruimten wordt een L^p-ruimte gedefinieerd aan de hand van integreerbare klassen van reële functies in de zin van de Lebesgue-integraal.

We geven hier de algemene definitie met klassen van integreerbare functies op een maatruimte (\Omega,\mathcal{A},\mu). De functies nemen waarden aan in de reële getallen \mathbb{R} of in de complexe getallen \mathbb{C}. De theorie is sterk analoog in beide gevallen, en we gebruiken de letter \mathbb{K} om één van de twee lichamen aan te geven. De topologische vectorruimten die we definiëren, zijn vectorruimten over \mathbb{K}.

Zij 0<p<\infty. Definieer \mathcal{L}^p als de verzameling \mathcal{A}-meetbare functies f:\Omega\to\mathbb{K} waarvan de p-de macht absoluut integreerbaar is:

\int_\Omega|f(\omega)|^pd\mu(\omega)<\infty.

Zij \mathcal{N} de lineaire deelruimte van de nulfuncties. Dan is bovenstaande uitdrukking nog steeds welgedefinieerd op de nevenklassen van \mathcal{N} in \mathcal{L}^p. We gebruiken nog steeds de functienotatie f(\omega) voor equivalentieklassen van functies modulo \mathcal{N}, en noteren L^p=\mathcal{L}^p/\mathcal{N} voor de quotiëntruimte.

Als p\geq 1, dan is

\|f\|_p=(\int_\Omega |f(\omega)|d\mu(\omega))^{1\over p}

een norm op L^p, en (L^p,\|.\|_p) is een Banachruimte.

Als 0<p<1, dan is de functie

d(f,g)=\int_\Omega|f(\omega)-g(\omega)|^pd\mu(\omega)

een translatie-invariante metriek op L^p, en (L^p,d) is een volledige metrische ruimte. In de functionaalanalyse heet dit een F-ruimte. Deze ruimte is echter niet lokaal convex, dus geen Fréchet-ruimte.

Definieer L^\infty als de verzameling meetbare functieklassen op \Omega die essentieel begrensd zijn in de zin dat

\|f\|_\infty=\inf_{N\in\mathcal{A},\mu(N)=0}\sup_{\omega\in\Omega\setminus N}|f(\omega)|<\infty.

Bovenstaande uitdrukking heet het essentieel supremum van f. Het is het supremum van de absolute waarde van f op eventuele nulverzamelingen na.

Dan is (L^\infty,\|.\|_\infty) een Banachruimte.

Bijzondere gevallen[bewerken]

De Lp-ruimte op een puntenpaar (met de telmaat) levert voor elke waarde van p een bijzondere norm in het vlak. De eenheidsbol in een dergelijke genormeerde vectorruimte is puntig of afgeplat, naargelang de waarde van p kleiner of groter is dan 2.

De ruimten l^p komen terug als bijzonder geval door als maatruimte de telmaat op de natuurlijke getallen te nemen. De L^p-ruimten van reële functies krijgt men met de Lebesgue-maat op de reële getallen.

Als \mu een eindige maat is, en 1\leq p\leq q\leq\infty, dan volgt uit de ongelijkheid van Jensen dat L^q een deelruimte is van L^p. De twee normen zijn uiteraard verschillend (en normaal gesproken zelfs niet topologisch equivalent) op de deelruimte; in het bijzonder is de deelruimte niet noodzakelijk gesloten in de topologie van de grotere ruimte.

Samenvattend en om verwarring te voorkomen[bewerken]

Er wordt hier onderscheid gemaakt tussen drie verschillende ruimten.

l^p(X) \!

gaat over de convergentie van reeksen,

\mathcal{L}^p \!

gaat over de integreerbaarheid van functies en

L^p \!

gaat over equivalentieklassen van integreerbare functies.

l^p \!

is een bijzonder geval van L^p. Beide zijn Banachruimten. Voor p=2 zijn het allebei Hilbertruimten.

\mathcal{L}^p is slechts een tussenstadium in de constructie van L^p, het is in het algemeen zelfs geen topologische vectorruimte.

Voetnoten[bewerken]

  1. Dunford, Schwartz, (1958) loc III.3
  2. Bourbaki (1987)
  3. Riesz (1910)