Metrische ruimte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde verstaat men onder metrische ruimte een verzameling waarop een begrip afstand (ook metriek genoemd) gedefinieerd is tussen elke twee elementen. Het begrip afstand is daarbij zo gegeneraliseerd dat het de voor afstand kenmerkende eigenschappen heeft behouden. Sommige verzamelingen laten als afstand slechts de triviale discrete metriek toe, andere kennen meer dan één afstandsbegrip.

De ruimten die het meest overeenkomen met ons intuïtief begrip van metrische ruimte zijn de twee- en de driedimensionale Euclidische ruimte. In feite is het begrip "metriek" een generalisatie van de Euclidische metriek die voortvloeit uit de vier sinds lange tijd bekende eigenschappen van de Euclidische afstand. De Euclidische metriek definieert de afstand tussen twee punten als de lengte van het lijnstuk dat deze twee punten verbindt.

De meetkundige eigenschappen van de ruimte hangen af van de gekozen metriek, en door een andere metriek te gebruiken, kan men interessante niet-Euclidische meetkundes, zoals die gebruikt worden in de algemene relativiteitstheorie, construeren.

Een metrische ruimte induceert topologische eigenschappen, zoals open- en gesloten verzamelingen, die leiden tot de studie van nog meer abstracte topologische ruimten.

Geschiedenis[bewerken]

Het begrip metrische ruimte werd in 1906 door Maurice Fréchet geïntroduceerd in zijn werk Sur quelques points du calcul fonctionnel (Over enkele punten in de functionaalanalyse), Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 (1906) 1–74.

Definitie[bewerken]

Een metrische ruimte is een verzameling V samen met een afbeelding

d: V\times V\rightarrow\mathbb{R},

metriek of afstand geheten die aan de volgende axioma's voldoet. Voor willekeurige x, y, z \in V geldt

d(x,y) \ge 0\, (niet-negativiteit).
d(x,y) = 0\,\Leftrightarrow x=y (scheidingseigenschap).
d(x,y) = d(y,x)\, (symmetrie).
d(x,z) \le d(x,y)+d(y,z)\, (de driehoeksongelijkheid).

Als de scheidingseigenschap wordt afgezwakt door "slechts dan" weg te laten, heet d een pseudometriek.

Voorbeelden[bewerken]

  • Een belangrijk voorbeeld van een metrische ruimte in \mathbb{R}^n is de Euclidische afstandsfunctie of de gewone metriek:
d(x,y)=\| x-y\|\,,

waarbij

\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}\, voor x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n\,.


d(x,y)=|x-y|\, (de modulus van x-y).
d(x,y)= |x_1-y_1| + |x_2-y_2| + \cdots + |x_n-y_n|\,.

Deze metriek dankt zijn naam aan het tweedimensionale voorbeeld waarbij men in een stadswijk met een patroon van elkaar loodrecht kruisende straten, volgens de kortste weg van hoekpunt A naar hoekpunt B wandelt.

Discrete metriek[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie discrete metriek voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Voor een willekeurige verzameling V is de afbeelding d:V\times V \to \{0,1\} die elk identiek puntenpaar (x,x) op 0 afbeeldt, en elk ander puntenpaar (x,y) op 1, een metriek. Men noemt dit de discrete metriek. Deze metriek geeft in essentie slechts aan of twee elementen verschillend zijn of niet.

Verband met een norm[bewerken]

De eerste twee voorbeelden hierboven hebben gemeen dat de verzameling V telkens een reële of complexe vectorruimte is, waarin de afstandsfunctie geïnduceerd wordt door een of andere norm \|.\|, dat wil zeggen

d(x,y)=\|x-y\|.

Algemeen maakt deze constructie van elke genormeerde ruimte een metrische ruimte. Als de aldus ontstane metrische ruimte volledig is, noemt men de genormeerde ruimte een Banachruimte.

Verband met topologie[bewerken]

In een metrische ruimte induceert de metriek ook een topologie voortgebracht door de open bollen. De open bol B(a,ρ) om het punt a met straal ρ > 0 bestaat uit de punten die op een kleinere afstand dan ρ van a liggen:

B(a,\rho)=\{x\in V| \ d(a,x)<\rho\}\,

Met deze topologie wordt iedere metrische ruimte een topologische ruimte.

Niet elke topologie is echter afkomstig van een metriek. Een topologische ruimte heet metriseerbaar als haar topologie wordt voortgebracht door de open bollen van een of andere metriek op de dragende verzameling.

Er bestaan verschillende verbanden tussen metriseerbaarheid en de aftelbaarheidsaxiomas en de scheidingsaxiomas. De stelling van Smirnov-Nagata-Bing bepaalt een precieze equivalentie tussen metriseerbaarheid enerzijds, en de combinatie van een aftelbaarheidsaxioma en een scheidingsaxioma anderzijds.

Equivalentie van metrieken[bewerken]

Twee metrieken d1 en d2 op een verzameling V zijn equivalent, dan en slechts dan als er getallen M1 en M2\mathbb{R} bestaan zodat:

\forall x,y \in V: d_1(x,y) \leq M_1 d_2(x,y) en d_2(x,y) \leq M_2 d_1(x,y)

Equivalente metrieken impliceren dat in beide metrische ruimten dezelfde verzamelingen open zijn (en dus dezelfde ook gesloten zijn), ook definiëren equivalente metrieken dezelfde convergente rijen en continue functies.

Voorbeeld[bewerken]

In \R^p zijn de volgende metrieken equivalent:

Begrensde metriek[bewerken]

Een begrensde metriek is een metriek waarvoor er een M >0 bestaat zodat

\forall x,y \in V:d(x,y)\leq M

Voorbeeld[bewerken]

Een voorbeeld hiervan is de metriek

d:\R \times \R\rightarrow \R

gegeven door:

d(x,y)= \frac{|x-y|}{1+|x-y|}

Het is duidelijk dat in dit geval geldt dat

d(x,y)\leq 1

Zie ook[bewerken]