Koppel (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het begrip koppel of ook geordend paar stamt uit de wiskundige verzamelingenleer. Een koppel is een verzameling van twee geördende elementen. De gebruikelijke notatie voor een koppel is (a, b), waar a het beginpunt of de oorsprong van het koppel is, en b het eindpunt of het doel van het koppel.

Kenmerk, schrijfwijzen en verwante begrippen[bewerken]

De kenmerkende eigenschap van een koppel is dat het twee elementen opsomt in een welbepaalde volgorde. Zij a een element van een verzameling A, en b een element van een verzameling B, dan noteert men het geordend paar als (a,b). Het koppel (a,b) is gelijk aan het koppel (c,d) dan en slechts dan als a=c en b=d. Het koppel (a,b) is niet hetzelfde als het paar {a,b}: bij dit laatste speelt de volgorde van a en b geen rol. We hebben dus altijd:

\{a,b\}=\{b,a\},

maar

(a,b)\neq(b,a)

tenzij a=b. In dit laatste geval spreken we van een identiek koppel.

Soms wordt ook de notatie met schuine haken <a,b> gehanteerd, bijvoorbeeld om het onderscheid te maken met een open interval op een rechte of op de reële getallen lijn. Soms wordt de komma vervangen door een kommapunt, met name als de elementen a en b decimale getallen zijn, bijvoorbeeld

(1;1,5)

voor het koppel dat bestaat uit het natuurlijke getal één en de breuk drie tweeden.

Grafisch wordt een koppel meestal voorgesteld als een paar punten, verbonden door een boog met een pijltje. Het pijltje geeft de zin aan van de oorsprong naar het doel.

Ordered pair.svg

Bij een identiek koppel vallen begin- en eindpunt samen. De boog wordt dan een lus zonder pijltje.

Definitie[bewerken]

Handboeken over naïeve verzamelingenleer vermijden een formele definitie en hanteren de kenmerkende eigenschap als een uitdrukkelijk of verzwegen axioma. In wiskundige modellen waarin alles een verzameling is, wordt het koppel (a,b) gedefinieerd als de verzameling {{a},{a,b}}. Deze definitie heeft enige formele elegantie en maakt de kenmerkende eigenschap eenvoudig bewijsbaar, maar ze is voor de intuïtie eerder hinderlijk dan behulpzaam.

De verzameling van alle mogelijke koppels waarvan het eerste lid tot een gegeven verzameling A behoort, en het tweede lid tot een gegeven verzameling B, noemt men het Cartesisch product van A en B, genoteerd A\times B.

Relatie[bewerken]

Een relatie tussen A en B is een deelverzameling van A\times B. Anders gezegd: een relatie tussen A en B is een willekeurige verzameling koppels met beginpunt in A en eindpunt in B.

Veralgemening[bewerken]

Analoog met koppels onderscheidt men soms tripels (tripletten, geordende drietallen), quadrupels (geordende viertallen), quintupels (geordende vijftallen), sextupels (geordende zestallen), enzovoort. Bij een algemeen aantal elementen n\in\mathbb{N} spreekt men van een n-tupel of kortweg tupel.

Als een formele definitie van een tripel nodig is, dan kan men afspreken dat

(a,b,c)=((a,b),c)

Ook hier is de definitie minder belangrijk dan de kenmerkende eigenschap:

(a,b,c)=(d,e,f)\iff a=d\wedge b=e\wedge c=f

Recursief kunnen we het n-tupel definiëren aan de hand van het (n-1)-tupel

(a_1,\ldots,a_n)=((a_1,\ldots,a_{n-1}),a_n)

met een analoge kenmerkende eigenschap dat twee tupels slechts gelijk zijn als de overeenkomstige elementen twee aan twee gelijk zijn in de aangegeven volgorde.

In het relationele gegevensbankmodel, een onderdeel van de theoretische informatica, wordt het woord relatie gebruikt voor een eindige verzameling n-tupels, waarbij n een vast getal is dat verschillend van 2 kan zijn, en die deel uitmaakt van een gegeven Cartesisch product A_1\times\cdots\times A_n waarvan de componenten (niet noodzakelijk eindige) verzamelingen zijn.