Cartesisch product

In de verzamelingenleer is het Cartesisch product of de productverzameling van twee verzamelingen de verzameling van alle koppels of geordende paren (a,b) waar a uit de eerste en b uit de tweede verzameling komt. Het Cartesisch product van twee verzamelingen A en B wordt genoteerd als A × B.

$A\times B = \{(a,b)| a\in A, b\in B\}$.

Het Cartesisch product is genoemd naar de Franse filosoof en wiskundige René Descartes. Hij ontdekte dat een punt in een vlak kon worden gezien als een getallenpaar. In moderne notatie maakte hij het vlak equivalent met R × R.

Voorbeeld Voor A ={a1, a2} en B ={b1, b2, b3}, is:

A × B = { (a1, b1), (a1, b2), (a1,b3), (a2, b1), (a2, b2), (a2, b3) }.

Enkele eigenschappen van het Cartesisch product:

• Het Cartesisch product van een willekeurige verzameling met de lege verzameling is altijd de lege verzameling
• Als A en B eindige verzamelingen zijn, is het aantal elementen van A × B gelijk aan het product van het aantal elementen van A en het aantal elementen van B: |(A × B)|= |A| × |B| .
• Als A of B oneindig is, en de andere verzameling is niet leeg, dan is A × B oneindig.
• Er geldt in het algemeen niet dat A × B = B × A. Tussen beide producten bestaat wel een canonische bijectie, nl. de omkering van elk koppel.

Herhaald Cartesisch product

Het product A × B is weer een verzameling, en we kunnen dus het product van A × B met een derde verzameling C vormen:

$(A\times B)\times C = \{((a,b),c)|(a,b)\in A\times B,c\in C\}$

Anderzijds bestaat ook het product van A met de productverzameling B × C:

$A\times(B\times C)=\{(a,(b,c))|a\in A, (b,c)\in B\times C\}$

Formeel zijn deze twee verzamelingen verschillend, maar ze staan wel op canonische wijze in bijectief verband:

$f:(A\times B)\times C\to A\times(B\times C):((a,b),c)\mapsto(a,(b,c))$

In de meeste wiskundige theorieën die gebruikmaken van producten, is het formele onderscheid tussen deze twee verzamelingen van weinig belang. Men laat dan een stel haakjes vallen en noteert

$A\times B\times C=\{(a,b,c)|a\in A,b\in B,c\in C\}$

De elementen van A × B × C heten geordende drietallen of tripels. Op analoge wijze definieert men het product van vier verzamelingen met als elementen quadrupels, het product van vijf verzamelingen dat bestaat uit quintupels, enz.

Door inductie bestaat het cartesisch product van n verzamelingen uit alle geordende n-tupels (of kortweg tupels) waarvan het i-de element tot de i-de verzameling behoort:

$\prod_{i=1}^n A_i = A_1 \times ... \times A_n = \{(a_1,\ldots,a_n) | a_1\in A_1,\ldots,a_n\in A_n\}$.

We spreken af dat het cartesisch product van één verzameling die verzameling zelf is (dus een 1-tupel wordt geïdentificeerd met het enige element waaruit het bestaat), en het cartesisch product van nul verzamelingen is het singleton bestaande uit het 0-tupel () (dit product is dus niet de lege verzameling!).

Als de verzamelingen waarvan we het product nemen, allemaal dezelfde zijn, dan wordt het product afgekort met een exponentiële notatie:

$A\times A\times A=A^3, \mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2$ enz.

Product van een willekeurig grote familie verzamelingen

Het product kan worden veralgemeend tot eventueel oneindige families van verzamelingen. Het volstaat op te merken dat een n-tupel kan worden opgevat als een functie van de getallenverzameling $\{1,2,\ldots,n\}$ naar de vereniging van de familie:

$f:\{1,2,\ldots,n\}\to\bigcup_{i=1}^n A_i$

met de bijzondere eigenschap dat iedere index i binnen zijn "eigen" verzameling wordt afgebeeld:

$f(i)\in A_i$

De functie f wordt dan gemakshalve geïdentificeerd met het geordende :n-tupel $(f(1),f(2),\ldots,f(n))$.

Zij $\{A_i|i\in I\}$ een willekeurige familie verzamelingen, geïndexeerd door een willekeurig grote verzameling I. De indexverzameling I hoeft niet noodzakelijk een getallenverzameling te zijn. Ze kan leeg zijn, of eindig en niet leeg, of oneindig en zelfs overaftelbaar.

We definiëren het cartesisch product van de familie als de verzameling van alle afbeeldingen van de indexverzameling naar de vereniging van de familie die elke index binnen het overeenkomstige lid van de familie afbeelden:

$\prod_{i\in I}A_i:=\{f:I\to\bigcup_{i\in I}A_i|\forall i\in I, f(i)\in A_i\}$

Machtsverzameling

Een bijzonder geval krijgen we, wanneer alle A_i dezelfde verzameling A zijn. Dan is de productverzameling gewoon de verzameling van alle afbeeldingen van I naar A. Deze krijgt de intuïtief duidelijke notatie A^I.

De machtsverzameling van een verzameling A is de familie van alle deelverzamelingen van A. We kunnen de machtsverzameling identificeren met de verzameling van alle afbeeldingen van A naar het paar {0,1} met de afspraak dat met een gegeven deelverzameling D van A de afbeelding f_D overeenkomt die alle elementen van D op 1 afbeeldt, en alle elementen van het complement van D op 0. De machtsverzameling van A wordt consequent 2^A genoteerd.

Projectie

Met het Cartesisch product $A\times B$ van 2 verzamelingen associëren we twee projectie-afbeeldingen

$\pi_A: A\times B\to A: (a,b)\mapsto a$

$\pi_B: A\times B\to B: (a,b)\mapsto b$

Met een algemeen (herhaald of oneindig) Cartesisch product wordt een stel afbeeldingen geassocieerd die elk tupel op een vaste component van dat tupel afbeelden. De i-de projectie is

$\pi_i: (\prod_{j\in I}A_j)\to A_i: f\mapsto f(i)$

In de Cartesiaanse meetkunde op $\mathbb{R}^2$ komen deze projectie-afbeeldingen overeen met de twee meetkundige projecties $\pi^Y_X$ en $\pi^X_Y$ parallel met de coördinaat-assen.

Databanken

Bij databanken wordt bij een "join" ook een Cartesisch product gemaakt:

Gegeven twee tabellen (met respectievelijk n (=2) en m (=3) elementen):

Tabel_A
Kolom_A1        Kolom_A2
element a       alfa
element b       beta

Tabel_B
Kolom_B1        Kolom_B2
element c       gamma
element d       delta
element e       epsilon

Het commando "select * from Tabel_A, Tabel_B;" (dus zonder specificatie van 'where') geeft dan n x m (=6) nieuwe regels:

Kolom_A1        Kolom_A2        Kolom_B1        Kolom_B2
element a       alfa            element c       gamma
element b       beta            element c       gamma
element a       alfa            element d       delta
element b       beta            element d       delta
element a       alfa            element e       epsilon
element b       beta            element e       epsilon