Punt (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de meetkunde, de topologie en andere hieraan gerelateerde takken van de wiskunde is een punt een basisbegrip om een specifieke positie binnen een ruimte aan te duiden. Een punt heeft geen (fysieke) afmetingen, dus bijvoorbeeld geen lengte, oppervlakte of volume. Als een direct gevolg daarvan is een punt een object zonder dimensie, men zegt wel nuldimensionaal. Gezien de aard van een punt als een van de eenvoudigste meetkundige concepten, komen punten veel voor in de meetkunde, de natuurkunde, in vectorafbeeldingen en in veel andere gebieden.

Punten in de Euclidische meetkunde[bewerken]

Punten in de tweedimensionale Euclidische ruimte.

Binnen het raamwerk van de Euclidische meetkunde is een punt een elementair object, een basisbegrip. Euclides definieerde een punt oorspronkelijk nogal vaag, als: "dat wat geen delen heeft". Deze definitie sluit aan op het moderne intuïtieve begrip van een punt als een object zonder dimensie.

In de tweedimensionale Euclidische ruimte wordt een punt weergegeven door een geordend paar getallen, (x,y), waarin x en y de coördinaten voorstellen ten opzichte van de x- en de y-as. In drie dimensies geldt hetzelfde, dan wordt een punt aangegeven door een drietal (x,y,z). In nog meer dimensies is nog steeds hetzelfde mogelijk, met geordende tupels van n coördinaten, \displaystyle (a_1,a_2,...,a_n), waar n staat voor de dimensie van de ruimte, waar het punt zich in bevindt.

Veel constructies in de Euclidische meetkunde bestaan uit een oneindig aantal punten die aan zekere axioma's voldoen. Dit wordt vaak weergegeven door een verzameling punten. Een lijn L bijvoorbeeld is een oneindige verzameling punten van de vorm

L=\{(a_1,a_2,...a_n)|a_1c_1 + a_2c_2 + ... + a_nc_n = d\}\,,

waarin de coëfficiënten c1, ..., cn en het getal d constanten zijn en n de dimensie van de ruimte voorstelt.

Voor gelijksoortige constructies zoals lijnstukken, vlakken, schijven en anderen bestaan soortgelijke definities.

De grafentheorie gebruikt het concept punt als element van een van de twee verzamelingen die een graaf beschrijven. Als een graaf op papier wordt weergegeven, worden de punten meestal weergegeven als een bepaalde locatie op het papier, vandaar de associatie met locatie in de grafentheorie.

In de topologie noemt men elk element van de drager van de topologische ruimte een punt.

In de differentiaalmeetkunde en de differentiaaltopologie zijn punten, de elementen van een variëteit.

Zie ook[bewerken]