Variëteit (wiskunde)

De sfeer (het oppervlak van een bal) is een twee-dimensionale variëteit omdat dit oppervlak kan worden weergegeven door een verzameling van twee-dimensionale kaarten.

In de differentiaalmeetkunde en differentiaaltopologie, deelgebieden van de wiskunde, is een variëteit een topologische ruimte die op voldoende kleine schaal (lokaal) op de euclidische ruimte van een specifieke dimensie lijkt. Een lijn en een cirkel zijn dus eendimensionale variëteiten, een vlak en sfeer (het oppervlak van een bal) zijn tweedimensionale variëteiten;dit gaat door tot in de hoogdimensionale ruimte. Meer formeel heeft elk punt van een n-dimensionale variëteit een omgeving die homeomorf is aan een open deelverzameling van de n-dimensionale ruimte $\mathbb{R}^n$.

De term variëteit dekt een aantal verschillende begrippen van "gekromde ruimte". Alle definities hebben de volgende filosofie gemeen:

Een variëteit is een topologische ruimte die in voldoende kleine omgevingen van elk punt lijkt op de n-dimensionale euclidische ruimte, maar die globaal een heel andere structuur kan hebben

Hoewel variëteiten in de buurt van elk punt (lokaal) op euclidische ruimten lijken, kan de globale structuur van een variëteit ingewikkelder zijn. Elk punt op het welbekende tweedimensionale boloppervlak wordt bijvoorbeeld omgeven door een cirkelvormig gebied, dat kan worden afgeplat tot een cirkelvormig gebied van het vlak, zoals in een geografische kaart. De sfeer verschilt "in het groot" echter van het vlak: in de taal van de topologie zijn zij niet homeomorf. De structuur van een variëteit is gecodeerd door een collectie van kaarten die samen een atlas vormen, in analogie met een geografische atlas die uit kaarten van het oppervlak van de aarde bestaat.

Het "lokaal lijken op" kan verder gepreciseerd worden door bijectieve topologische afbeeldingen, kaarten genaamd, waarvan de samenstelling op de overlappingsgebieden van hun domeinen tot een bepaalde klasse moet behoren. Naargelang de gekozen klasse spreekt men van een topologische variëteit (homeomorfismen), een differentieerbare of gladde variëteit (diffeomorfismen) of een complexe variëteit (complex differentieerbare homeomorfismen). Sommige definities vereisen nog aanvullende structuur, bijvoorbeeld een Riemann-variëteit is een gladde variëteit met een positief definiete kwadratische vorm.

Het concept van variëteiten staat centraal in veel delen van de meetkunde en de moderne wiskundige natuurkunde, omdat dit concept het toestaat gecompliceerde structuren uit te drukken en te begrijpen in termen van relatief goed begrepen eigenschappen van eenvoudigere ruimten. Een variëteit is bijvoorbeeld typisch uitgerust met een differentieerbare structuur die het toelaat om te differentiëren en te integreren en een Riemann-metriek, die het toelaat om afstanden en hoeken te meten. Symplectische variëteiten fungeren binnen de klassieke mechanica als faseruimten in het Hamiltonformalisme, terwijl vier-dimensionale Lorentz-variëteiten de ruimte-tijd in de algemene relativiteitstheorie modelleren.

De Engelse term manifold (menigvuldigheid) wordt ook in Nederlandse teksten vaak als synoniem van variëteit gebruikt. Voor een algebraïsche variëteit gebruikt het Engels dan weer liever de term algebraic variety.

De 2-sfeer in 3 dimensies, geprojecteerd vanuit één van haar punten op het tegenoverliggende raakvlak. Deze projectie bepaalt een homeomorfisme tussen $\mathbb{R}^2$ en een open omgeving van het raakpunt. Ieder punt van de sfeer kan als raakpunt fungeren, dus deze constructie maakt van de sfeer een variëteit.

Motiverend voorbeeld

Figuur 1: De vier kaarten beelden elk een deel van de cirkel af op een open interval en overdekken tezamen de gehele cirkel.

Cirkel

Zie cirkel voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Na een lijn, is de cirkel het eenvoudigste voorbeeld van een topologische variëteit. Topologie negeert bochten, dus een klein stukje van een cirkel wordt op precies dezelfde manier behandeld als een klein stukje van een lijn. Beschouw bijvoorbeeld de bovenste helft van de eenheidscirkel, x² + y² = 1, waar de y-coördinaat positief is (aangegeven door de gele boog in Figuur 1). Elke punt van deze halve cirkel kan uniek worden beschreven door zijn x-coördinaat. De projectie op de eerste coördinaat is dus een continue en inverteerbare, afbeelding van de bovenste halve cirkel op het open interval (-1,1):

Zulke functies worden samen met de open gebieden kaarten genoemd. Op gelijke wijze bestaan er kaarten voor de onderste- (rood), linker- (blauw) en rechter (groene) delen van de cirkel. Samen bedekken deze onderdelen de gehele cirkel en de vier kaarten vormen samen een atlas voor de cirkel.

De bovenste- en rechterkaart overlappen: hun doorsnede ligt in het kwart van de cirkel waar zowel de x- als de y-coördinaten positief zijn. De twee kaarten χ_boven en χ_rechts beelden dit deel elk af op het interval (0, 1). Een functie T van (0, 1) op zichzelf kan worden geconstrueerd, die eerst de inverse van de bovenste kaart gebruikt om de cirkel te bereiken en dan de rechter kaart terugvolgt naar het interval. Laat a een willekeurig getal tussen (0, 1) zijn, dan:

$\begin{align} T(a) &= \chi_{\mathrm{rechts}}\left(\chi_{\mathrm{boven}}^{-1}(a)\right) \\ &= \chi_{\mathrm{rechts}}\left(a, \sqrt{1-a^2}\right) \\ &= \sqrt{1-a^2} . \end{align}$

Zo'n functie wordt een transitie-afbeelding genoemd.

Geschiedenis

Zie Geschiedenis van variëteiten voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De studie van variëteiten combineert tal van belangrijke deelgebieden van de wiskunde: het veralgemeent concepten zoals krommen en oppervlakken alsmede ideeën uit de lineaire algebra en de topologie.

Topologische variëteit

Zie Topologische variëteit voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Formele definitie

Zij n een positief natuurlijk getal. Een topologische variëteit van dimensie n is een topologische ruimte die voldoet aan het scheidingsaxioma $T_2$ (Hausdorff) en aan het aftelbaarheidsaxioma $A_2$, en waarin elk punt een omgeving heeft die homeomorf is met de Euclidische ruimte $\mathbb{R}^n$

Een kaart op een topologische variëteit $M$ is een homeomorfisme van een open deelverzameling $V$ van $M$ naar $\mathbb{R}^n$

Topologische variëteiten worden bestudeerd in de tak van de wiskunde die algebraïsche topologie heet.

Voorbeelden

Elke open deelverzameling $G$ van $\mathbb{R}^n$ is op triviale wijze een topologische variëteit, want rond elk punt $g\in G$ ligt een open bol binnen $G$, en $n$-dimensionale open bollen zijn homeomorf (zelfs diffeomorf) met $\mathbb{R}^n$.

Een eenvoudige, maar niet triviale variëteit is de $n$-sfeer, dit is de rand van de $(n+1)$-dimensionale bol met middelpunt 0 en straal 1:

$S^n=\{x\in\mathbb{R}^{n+1};\|x\|=1\}$

In elk punt $x\in S^n$ bestaat er een uniek $n$-dimensionaal raakhypervlak. Dit raakhypervlak $H_x$ is isometrisch (en dus zeker homeomorf en diffeomorf) met $\mathbb{R}^n$. De centrale projectie vanuit het tegenoverliggende punt $(-x)$ op $H_x$ is een homeomorfisme (diffeomorfisme) tussen $S^n\setminus\{-x\}$ en $H_x$.

Gladde variëteit

Zie Gladde variëteit voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Formele definitie

Een gladde variëteit (ook: differentieerbare variëteit, $C^\infty$-variëteit) is een geordend paar $(M,A)$ waar $M$ een topologische variëteit is, en $A$ een differentieerbare atlas, dat wil zeggen een verzameling kaarten op $M$ met de volgende eigenschappen:

• de domeinen van alle kaarten van $A$ overlappen de hele variëteit $M$
• overal waar de domeinen van twee kaarten $k_1:V_1\to\mathbb{R}^n$ en $k_2:V_2\to\mathbb{R}^n$ elkaar overlappen, geldt dat de samenstelling

$k_1\circ k_2^{-1}|_{k_2(V_1\cap V_2)}$

onbeperkt differentieerbaar is.

Bovenstaande voorbeelden van topologische variëteiten kunnen zonder problemen worden geïnterpreteerd als gladde variëteiten.

Gladde variëteiten zijn het studieobject van de differentiaaltopologie.

Elke gladde variëteit beschikt over de belangrijke bijkomende structuur van een raakruimte in ieder punt en de bijhorende rakende bundel.

Exotische variëteiten

Met elke gladde variëteit komt per definitie een topologische variëteit overeen. De topologische structuur legt echter de differentieerbare structuur niet op unieke wijze vast. Er bestaan gladde variëteiten die niet diffeomorf zijn met elkaar, maar waarvan de onderliggende topologische variëteiten wel homeomorf zijn. Dit is onder meer het geval met de topologische variëteit $\mathbb{R}^4$. Men spreekt van exotische differentiaalstructuren op $\mathbb{R}^4$ om ze te onderscheiden van de triviale gladde structuur uit het voorbeeld hierboven.

Iets gelijkaardigs doet zich voor in $S^7$, de zevendimensionale sfeer.

Gladde afbeelding, diffeomorfisme

Een continue afbeelding $f:M\to N$ tussen twee gladde variëteiten van dimensie $m$ resp. $n$ heet glad als haar samenstelling met willekeurige kaarten (of hun inverse) op $M$ en $N$, een onbeperkt differentieerbare afbeelding $\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ oplevert.

Een diffeomorfisme is een bijectie tussen gladde variëteiten die in beide richtingen een gladde afbeelding is. Dat deze laatste eis niet overbodig is, toont de afbeelding

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto x^3$

Deze is een onbeperkt differentieerbaar homeomorfisme van de reële getallen naar zichzelf, maar de inverse is niet differentieerbaar in 0.

Doorsnede van gladde variëteiten

De doorsnede van twee deelvariëteiten van een gladde variëteit is in het algemeen geen variëteit; dit is echter wel gegarandeerd als de twee deelvariëteiten elkaar transversaal snijden.

Riemann-variëteit

Zie Riemann-variëteit voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een Riemann-variëteit bestaat uit een gladde variëteit met een positief definiete kwadratische vorm in elke raakruimte (en zodanig dat de coëfficiënten van de kwadratische vorm in elk coördinatenstelsel onbeperkt differentieerbaar zijn).

De kwadratische vorm geeft betekenis aan het begrip "lengte" voor vectoren in de raakruimte, en (door integratie) voor krommen in de variëteit zelf.

Riemann-variëteiten zijn het studieobject van de moderne differentiaalmeetkunde.

Symplectische variëteit

Zie Symplectische variëteit voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een symplectische variëteit bestaat uit een gladde variëteit met een niet-ontaarde, antisymmetrische, gesloten bilineaire vorm. Symplectische variëteiten worden gebruikt om de faseruimte te modelleren in de Hamiltoniaanse mechanica.

Symplectische variëteiten zijn het studieobject van de symplectische meetkunde.

Algebraïsche variëteit

Zie Algebraïsche variëteit voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een algebraïsche variëteit beantwoordt aan de filosofie uit de inleiding, op voorwaarde dat we de $n$-dimensionale Euclidische ruimte vervangen door $k^n$, het $n$-voudig cartesisch product van een algebraïsch gesloten veld met zichzelf. De kaarten (afbeeldingen) moeten algebraïsch zijn, dat wil zeggen dat de coördinatentransformaties kunnen uitgedrukt worden als algebraïsche functies.

De algebraïsche meetkunde bestudeert algebraïsche variëteiten en aanverwante objecten.

Riemann-oppervlak

Zie Riemann-oppervlak voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een Riemann-oppervlak (niet te verwarren met een Riemann-variëteit) is een tweedimensionale gladde variëteit waarvan de coördinatentransformaties kunnen worden opgevat als analytische functies (door de twee reële coördinaten te identificeren met de complexe getallen 1 en $i$).

Complex analytische variëteit

Zie Complexe variëteit voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Bij een complex analytische variëteit vervangen we $\mathbb{R}^n$ door $\mathbb{C}^n$ en we eisen dat de coördinatentransformaties analytische functies in $n$ veranderlijken zijn. Eendimensionale complex analytische variëteiten heten Riemann-oppervlakken.