Atlas (topologie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de differentiaaltopologie, een deelgebied van de wiskunde, beschrijft een atlas, hoe een variëteit is uitgerust met een differentieerbare structuur. Elk stuk wordt gegeven door een kaart (ook bekend als een coördinatenkaart of een lokaal coördinatensysteem).

Alvorens de formele definitie van een atlas te geven, herinneren we eraan dat een kaart van een variëteit M wordt gedefinieerd als zijnde een homeomorfisme \phi van een open deelverzameling U van M naar een open deelverzameling V van \mathbb{R}^n.

Als (U_{\alpha}, \varphi_{\alpha}) en (U_{\beta}, \varphi_{\beta}) twee kaarten op M zijn zodanig dat U_{\alpha} \cap U_{\beta} niet-leeg is, dan definieert de transitieafbeelding

\varphi_{\alpha,\beta} : \varphi_{\alpha}(U_{\alpha} \cap U_{\beta}) \to \varphi_{\beta}(U_{\alpha} \cap U_{\beta}), \varphi_{\alpha,\beta} = \varphi_{\beta} \circ \varphi_{\alpha}^{-1}.

Merk op dat aangezien \varphi_{\alpha} en \varphi_{\beta} beide homeomorfismen zijn, de transitieafbeeldingen ook homeomorfismen zijn. De transitieafbeeldingen zijn dus al uitgerust met een soort van compatibiliteit in de zin dat het veranderen van het coördinatensysteem op een kaart naar het coördinatensysteem op een andere kaart continu is.

Externe link[bewerken]

  • (en) Atlas door Todd Rowland