Sfeer (wiskunde)

Een twee-dimensionale perspectivische projectie van een sfeer

De meetkunde definieert een sfeer als het oppervlak van een bol. Van daaruit zijn verschillende veralgemeningen ontstaan in diverse deelgebieden van de wiskunde.

Klassieke definitie

Een sfeer is de verzameling van alle punten in een driedimensionale euclidische ruimte die op een gegeven afstand $R>0$ liggen van een gegeven punt (het middelpunt van de sfeer).

$S(p,R)=\left\{x\in\mathbb{R}^3|d(x,p)=R\right\}$

Het oppervlak heeft grootte

$\! A=4\pi R^2.$

De vergelijking die een sfeer met oorsprong in het punt $\!(x_0,y_0,z_0)$ en straal $R$ definieert in cartesische coördinaten is,

$\! (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2.$

De eenheidssfeer is de sfeer $S(0,1)$ met middelpunt de oorsprong en straal 1.

Hogere dimensies

Voor ieder natuurlijk getal $n\geq0$ definieert men de $n$-sfeer als

$S^n=S^n(0,1)=\left\{x\in\mathbb{R}^{n+1}|d(x,0)=r\right\}.$

Het getal n is de dimensie van $S^n$ opgevat als topologische variëteit; intuïtief is dit het aantal vrijheidsgraden. Zo is de cirkel $S^1$ lokaal gezien een 1-dimensionale lijn, en is $S^2$ lokaal een 2-dimensionaal vlak.

Het gehanteerde afstandsbegrip is meestal de Euclidische afstand

$d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\ldots+(x_{n+1}-y_{n+1})^2}$

In de context van hogere dimensies spreekt men ook wel van een bol in de plaats van een sfeer. Dit doet men om het verschil te maken met het begrip bal, welke is gedefinieerd als het gebied begrensd door de sfeer, namelijk:

$B^n=B^n(0,1)=\left\{x\in\mathbb{R}^{n+1}|d(x,0)\le r\right\}$

De bol met straal $r=1$, wordt eenheidsbol genoemd.

De bol is een fundamenteel begrip in veel metrische ruimtes, en wordt – afhankelijk van het betreffende deelgebied van de wiskunde – uitgerust met aanvullende structuren, bijvoorbeeld die van een topologische, gladde of Riemannse variëteit.

Het vermoeden van Poincaré betreft een voldoende voorwaarde opdat een gegeven driedimensionale variëteit topologisch equivalent is met de drie-sfeer $S^3$.

De drie-sfeer wordt soms “aanschouwelijk” gemaakt door haar te modelleren als deelverzameling van $\mathbb{C}^2$:

$S^3=\left\{(z_1,z_2)\in\mathbb{C}\times\mathbb{C};|z_1|^2+|z_2|^2=1\right\}$

De topologische zeven-sfeer $S^7$ kan worden uitgerust met niet minder dan 28 onderling verschillende gladde structuren. Één daarvan is de klassieke gladde structuur afkomstig van de omliggende Euclidische ruimte $\mathbb{R}^8$, de andere 27 zijn voorbeelden van exotische differentiaalstructuren.

De stelling van Borsuk-Ulam gaat over continue afbeeldingen van de n-sfeer naar de n-dimensionale Euclidische ruimte.

Andere metrieken

In een willekeurige metrische ruimte $(X,d)$ (of zelfs een pseudometrische ruimte) is de sfeer met middelpunt $p$ en straal $R>0$ op analoge wijze gedefinieerd:

$S(p,R)=\left\{x\in X|d(x,p)=R\right\}$

Nemen we bijvoorbeeld het vlak $\mathbb{R}^2$ met de Manhattan-metriek

$d(x,y)=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|$

dan hebben de “sferen” de vorm van vierkanten waarvan de zijden een hoek van 45° maken met de coördinaatassen.

Riemann-sfeer

De Riemann-sfeer is het Riemann-oppervlak dat ontstaat door aan het complexe vlak $\mathbb{C}$ één punt $\infty$ toe te voegen, waarbij het gedrag in de omgeving van $\infty$ bepaald wordt door de afbeelding

$\mathbb{C}\to\mathbb{C}\cup\{\infty\}\setminus\{0\}:z\mapsto{1\over z},$

als een complex analytische kaart te beschouwen.

Topologisch is de Riemann-sfeer gelijkwaardig met de gewone eenheidssfeer $S^2$.

Meetkundig modelleert de Riemann-sfeer de complexe projectieve lijn (eendimensionale complexe projectieve ruimte)

$\mathbb{C}\mathbb{P}^1$.

Zie ook

• Cirkel, de sfeer in twee dimensies
• Eenheidssfeer, de sfeer met straal 1.
• Sferisch lichaam

Mediabestanden

Zie de categorie Spheres van Wikimedia Commons voor meer mediabestanden.