Dimensie (lineaire algebra)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De dimensie van een vectorruimte V is het aantal vectoren waaruit de basis van die vectorruimte is opgebouwd. Er kan namelijk worden bewezen dat iedere willekeurige basis van een vectorruimte uit hetzelfde aantal vectoren bestaat. Een minimaal voortbrengend deel of een maximaal vrij deel vormt steeds een basis. De dimensie van een vectorruimte V over een (grond)lichaam K wordt ook wel geschreven als dimK(V) of [V : K].

Een vectorruimte V met een eindig stel voortbrengende vectoren heet eindigdimensionaal. Anders heet V oneindig-dimensionaal.

Voorbeeld[bewerken]

De bekende Euclidische ruimte R3 heeft een basis die bestaat uit de eenheidsvectoren: {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}.

De dimensie is dus 3: dimR(R3) = 3. Meer in het algemeen geldt dat dimR(Rn) = n en nog algemener geldt dimF(Fn) = n voor enig lichaam (Belgisch: veld) F.

De complexe getallen C zijn zowel een reële als een complexe vectorruimte; er geldt dimR(C) = 2 en dimC(C) = 1. De dimensie van een vectorruimte is dus mede afhankelijk van het onderliggende lichaam.

De enige vectorruimte met dimensie 0 is {0}, de vectorruimte, die uitsluitend uit haar nul-element bestaat.

Oneindige dimensies[bewerken]

De dimensie van een vectorruimte V is de kardinaliteit ("aantal" elementen, eventueel een bepaalde graad van oneindigheid) van de basis. Er kan namelijk worden bewezen dat iedere willekeurige basis van een vectorruimte dezelfde kardinaliteit heeft.

Zie ook[bewerken]

Andere dimensie begrippen[bewerken]

Externe link[bewerken]