Affiene ruimte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Affiene ruimte, projectieve ruimte, vectorruimte

In de meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is een affiene ruimte een meetkundige wiskundige structuur, die de affiene eigenschappen van de Euclidische ruimte veralgemeent. Informeel kan men zich een affiene ruimte voorstellen als een vectorruimte, maar dan zonder punt dat als oorsprong fungeert. In een affiene ruimte kan men punten van elkaar aftrekken om zo vectoren te krijgen, of kan men een vector optellen bij een punt om zo een ander punt te verkrijgen, maar men kan geen punten bij elkaar optellen.

Affiene deelruimten[bewerken]

Een affiene deelruimte van een vectorruimte V (ook wel een lineaire variëteit genoemd) is een onder affiene combinaties van vectoren in deze ruimte gesloten deelverzameling. De verzameling

A=\Bigl\{\sum^N_{i=1} \alpha_i \mathbf{v}_i \Big| \sum^N_{i=1} \alpha_i=1\Bigr\}

is bijvoorbeeld een affiene ruimte, waar {vi}i een familie van vectoren in V is - deze ruimte is het affiene opspansel van dit punt. Om in te zien dat dit inderdaad een affiene ruimte is kan men zichzelf overtuigen dat deze verzameling een transitieve actie van de lineaire deelruimte W van V draagt

W=\Bigl\{\sum^N_{i=1} \beta_i\mathbf{v}_i \Big| \sum^N_{i=1} \beta_i=0\Bigr\}.

Deze affiene deelruimte kan op gelijkwaardige wijze worden omschreven als de nevenklasse van de W-actie

S=\mathbf{p}+W, \,

waar p enig element van A is, of op equivalente wijze als enige niveauverzameling van de Quotiënttopologie V \to V/W. Een keuze uit p geeft een basispunt van A en een identificatie van W met A, maar er is geen logische keuze, noch een natuurlijke identificatie van W met A.

Een lineaire transformatie is een functie die alle lineaire combinaties bewaart; een affiene transformatie is een functie die alle affiene combinaties bewaart. Een lineaire deelruimte is een affiene deelruimte met daarin een oorsprong, oftewel, op gelijkwaardige wijze een deelruimte, die onder lineaire combinaties is gesloten.

Bijvoorbeeld in R3 zijn de oorsprong, de lijnen en vlakken door de oorsprong en ook de gehele ruimte met oorsprong zelf lineaire deelruimten, terwijl punten, lijnen en vlakken in het algemeen, alsmede de gehele ruimte affiene deelruimten zijn.

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]