Affiene meetkunde
De affiene meetkunde is de meetkunde die ontstaat door ten opzichte van de Euclidische meetkunde de grootte van hoeken buiten beschouwing te laten. Lengten in verschillende richtingen kunnen niet vergeleken worden. Van de postulaten van Euclides worden het derde en vierde betekenisloos; het parallellenpostulaat blijft gehandhaafd.
De affiene meetkunde is geïntroduceerd door Euler.
Een affiene eigenschap is een eigenschap die geldt in de affiene meetkunde. In de Euclidische meetkunde zijn dit de eigenschappen die worden bewaard door parallelle projectie van een vlak op een ander vlak. Ook in andere meetkundes zijn ze van toepassing, bijvoorbeeld in de Minkowski-ruimte.
Men kan stellen dat de affiene meetkunde een generalisatie is van de Euclidische meetkunde die wordt gekarakteriseerd door scheefheid en schaalvervormingen. Projectieve meetkunde kan men opvatten als zijnde meer algemeen dan affiene meetkunde, aangezien de projectieve meetkunde kan worden afgeleid uit de projectieve ruimte door een willekeurig vlak te "specialiseren".[1]
In de taal van Kleins programma van Erlangen is de onderliggende symmetrie in de affiene meetkunde een groep van affiniteiten, dat wil zeggen de groep van transformaties die collineariteit bewaart.
Affiene meetkunde kan worden uitgewerkt in termen van de meetkunde van vectoren en vectorruimtes, met of zonder de notie van coördinaten. Een affiene ruimte onderscheidt zich van een vectorruimte van dezelfde dimensie door de oorsprong 0 te 'vergeten'. Aangezien dit het enige belangrijke verschil is kan affiene meetkunde gezien worden als een onderdeel van de lineaire algebra.
Inhoud |
[bewerken] Geschiedenis
Leonhard Euler heeft als eerste het woord affien gebruikt.[2] Affien kom van het Duitse woord affin. Pas na het verschijnen van Felix Kleins Erlangen programma werd de affiene meetkunde erkend als zijnde een generalisatie van de Euclidische meetkunde.[3]
[bewerken] Axioma voor de affiene meetkunde
Een axiomatische behandeling van de affiene meetkunde kan wordt opgebouwd vanuit de axioma's van de geordende meetkunde door twee additionele axioma's toe te voegen.
- (Affiene axioma van parallellisme); gegeven een punt A en een lijn r, die niet door A gaat, dan is er op zijn hoogst 1 lijn door A die lijn r niet snijdt.
- (Stelling van Desargues); Gegeven zeven verschillende punten A, A', B, B', C, C', O, zulks dat AA', BB', and CC' verschillende lijnen zijn door O en AB parallel is aan A'B' en BC parallel is aan B'C', dan is AC parallel aan A'C'.
Het affiene concept van parallellisme vormt een equivalentierelatie op lijnen.
[bewerken] Affiene transformaties
 Zie Affiene transformatie voor het hoofdartikel over dit onderwerp. |
[bewerken] Affiene ruimte
| Zie Affiene ruimte voor het hoofdartikel over dit onderwerp. |
[bewerken] Zie ook
- Niet-euclidische meetkunde
- Affiene ruimte
- Geordende meetkunde
- Euclidische meetkunde
- Erlanger Programm
[bewerken] Referenties
- ↑ Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry (Inleiding in de meetkunde), John Wiley & Sons, New York, 1969, p. 261 ISBN 0471504580.
- ↑ Blaschke, Wilhelm Analytische Geometrie, Birkhauser, Basel, 1954, p. 31
- ↑ Coxeter, H. S. M. Introduction to Geometry (Inleiding in de meetkunde), John Wiley & Sons, New York, 1969, p. 191 ISBN 0471504580.
