Afstand

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Zoek dit woord op in WikiWoordenboek

Afstand is een algemeen begrip voor de ruimte tussen niet samenvallende zaken (zoals dingen of wiskundig objecten). Zo kan men zelfs spreken van een sociale afstand tussen bevolkingsgroepen. Als die ruimte gemeten kan worden, verstaat men onder afstand de maat van die ruimte. Het hangt daarbij van de toepasbare meetkunde af, hoe afstand is gedefinieerd. Denk als voorbeeld aan een stad en de afstand die een auto moet afleggen om van een punt A naar een punt B te gaan. De afgelegde weg zal in veel gevallen geen rechte lijn zijn en ook is het heel goed mogelijk dat de afstand van A naar B anders is dan de afstand van B naar A. Algemeen is de afstand van het punt A naar het punt B het aantal keren dat een standaardmaat afgepast kan worden op de kortste verbindingsweg van A naar B. Als standaardmaat wordt tegenwoordig voor lengtemetingen de SI-eenheid meter genomen.

Afstand in de gewone meetkunde[bewerken]

Afstand tussen twee punten[bewerken]

In de gewone (euclidische) meetkunde is de kortste verbindingsweg (euclidische afstand) een rechte lijn en kan de afstand worden berekend als de wortel uit de som van de kwadraten van de verschillen tussen de coördinaten, volgens de stelling van Pythagoras.

In een tweedimensionale ruimte betekent dat voor de afstand d tussen de punten p_1=(x_1,y_1) en p_2= (x_2,y_2)

d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}.

In drie dimensies geldt analoog

d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2}.

Zijn de punten p_1=(x_1,y_1,z_1) en p_2= (x_2,y_2,z_2) in de tweedimensionale ruimte gegeven in genormaliseerde barycentrische coördinaten, dan is, gebruikmakend van Conway-driehoeknotatie de afstand gegeven door

 d = \sqrt{S_A\cdot(x_1-x_2)^2 + S_B\cdot(y_1-y_2)^2 + S_C\cdot(z_1-z_2)^2}.

Afstand tussen een punt en een lijn[bewerken]

De afstand tussen een punt P = (x_p, y_p) en een lijn l door de punten (x_0, y_0) en (x_1, y_1), is:


d(P,l) = \sqrt{(x_p - x_0 - \lambda _q (x_1 - x_0) )^2 + (y_p - y_0 - \lambda _q (y_1 - y_0))^2}

met


\lambda _q = \frac{(x_1 - x_0)(x_p - x_0) + (y_1 - y_0)(y_p - y_0)}{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2}

Ligt het getal \lambda _q tussen 0 en 1 dan bevindt het snijpunt van l en de lijn door P loodrecht op l zich tussen de punten (x_0, y_0) en (x_1, y_1).

De afstand van een punt P = (x_p, y_p) tot de lijn l met vergelijking u x + v y + w = 0 is:

d(P,l) =  \frac{ | u x_p + v y_p + w| }{ \sqrt{ u^2+ v^2 } }

Afstand tussen een punt en een vlak[bewerken]

De afstand van een punt P = (x_p, y_p, z_p) tot het vlak \alpha met vergelijking u x + v y + w z + t = 0 is:

d(P,\alpha) =  \frac{ | u x_p + v y_p + w z_p + t| }{ \sqrt{ u^2+ v^2 +w^2} }

Afstand tussen twee lijnen (in drie dimensies)[bewerken]

afstand tussen twee lijnen

De afstand tussen de twee lijnen is de afstand van een willekeurig punt van de eerste lijn tot het vlak door de tweede lijn evenwijdig aan de eerste.

Afstand in gekromde ruimten[bewerken]

In de differentiaalmeetkunde wordt de afstand tussen twee punten gemeten aan de hand van de lengte van krommen, meer bepaald: het infimum van de lengten van alle krommen die twee punten verbinden. Hiervoor wordt aangenomen dat tussen elk paar punten minstens een kromme bestaat, dus we bevinden ons in een (weg)samenhangende Riemannse variëteit.

Als een bepaalde kromme de kortste verbinding tussen twee punten legt, dan is die kromme noodzakelijk een geodeet.

Afstand tussen twee punten op een bol[bewerken]

De afstand tussen twee punten P en Q op het oppervlak van een bol, gemeten langs een grote cirkel (dus over het oppervlak van de bol, niet er doorheen) is:


d(P,Q) = 2R \cdot \arcsin \frac 12 \sqrt{(\cos \beta _Q \cos \alpha _Q - \cos \beta _P \cos \alpha _P)^2 + (\cos \beta _Q \sin \alpha _Q - \cos \beta _P \sin \alpha _P)^2 + (\sin \beta _Q - \sin \beta _P)^2}

hierin is R de straal van de bol, \alpha de hoek in het equatoriale vlak en \beta de hoek loodrecht daarop, gerekend vanaf de equator.

Veralgemening[bewerken]

Vele afstandsbegrippen (maar niet alle - zie inleiding) hebben de volgende abstracte eigenschappen gemeen:

  • geen enkel object heeft een echte afstand tot zichzelf
  • de afstand tussen twee objecten is onafhankelijk van de volgorde waarin die objecten beschouwd worden
  • de rechtstreekse afstand tussen twee objecten is nooit langer dan de onrechtstreekse afstand via een derde object

Deze axioma's geven aanleiding tot het abstracte begrip pseudometriek. Als men bovendien aanneemt dat tussen elk paar verschillende objecten een positieve afstand bestaat, dan bekomt men een metrische ruimte.

Tabel met enkele afstanden in de natuur[bewerken]

lengte (m) voorbeeld (orde-grootte)
10−35 kleinste lengte (Plancklengte of kwantumlengte)
10−15 diameter van proton en neutron
10−10 diameter van een atoom
10−4 dikte van papier
100 een (flinke) stap
102 gemiddelde diepte van de Noordzee
104 diepte van de diepste oceanische trog
106 dikte van de dampkring (inclusief thermosfeer)
107 diameter van de Aarde
108 diameter van Saturnus
109 diameter van de zon
1011 afstand van de Aarde tot de zon
1012 afstand van Saturnus tot de zon
1013 doorsnede van ons zonnestelsel (gerekend t/m Pluto)
1016 lichtjaar
1017 afstand tot de ster Sirius
1021 doorsnede van de Melkweg
1023 lengte van de stralenbundels van sterrenstelsel 3C 236
1026 afstand tot het verst bekende object in het heelal