Impuls (natuurkunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de natuurkunde is de impuls (in het Engels momentum) een grootheid die gerelateerd is aan de snelheid en de massa van een object. De impuls wordt ook soms "hoeveelheid van beweging" genoemd. Binnen de klassieke mechanica is impuls p gedefinieerd als:

\vec{p} = m \vec{v}

ofwel, de impuls is het product van de scalaire grootheid massa en de vectoriële grootheid snelheid. De impuls is dus ook een vectorgrootheid, met dezelfde richting als de snelheid.

De eenheid van impuls is Ns (Newton seconde), wat in SI-eenheden neerkomt op \frac{kg.m}{s}.

Impuls in de klassieke natuurkunde: stoot[bewerken]

Stoot bij biljart. De impuls van de witte bal wordt over alle ballen verdeeld.

De impuls is een belangrijke grootheid in de klassieke mechanica: Als er een externe kracht werkt op een systeem, verandert de impuls. Als de massa m constant blijft, kan \vec{F} = m \vec{a} herschreven worden als:

\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}.

Wanneer de kracht constant is, neemt de impuls lineair toe in de tijd. Als dit niet het geval is neemt men de integraal van de uitgeoefende kracht over de tijd. De integraal van een kracht F over de tijd van tijdstip a naar tijdstip b is de stoot I:

\vec{I} = \int_a^b \vec{F} dt = \int_a^b \frac{d\vec{p}}{dt} dt = \int_a^b d\vec{p} = \Delta \vec{p} \!

Wet van behoud van impuls[bewerken]

De wet van behoud van impuls kan worden afgeleid uit Newtons axioma's voor de klassieke mechanica: Als er geen externe kracht werkt op een systeem, blijft de totale impuls behouden; De krachten die verschillende massa's in een systeem op elkaar uitoefenen heffen elkaar op volgens het axioma actie= -reactie. Dit principe is bijvoorbeeld van toepassing bij het uitstoten van massa bij een kanon of een raket, bij aantrekking (bijvoorbeeld door gravitatie), en bij afstoting op afstand of bij een botsing van twee objecten/deeltjes (in de natuurkundelessen vaak biljartballen). Neem aan dat twee voorwerpen A en B tegen elkaar botsen of op een andere manier een kracht op elkaar uitoefenen. Als er verder geen krachten zijn is de kracht \vec{F_A} op A volgens het principe van actie = -reactie tegengesteld gericht aan de kracht \vec{F_B} op B en even groot:

\vec{F_A} = -\vec{F_B} \!.

Voor de impuls geldt:

\frac{d\vec{p_A}}{dt} = \vec{F_A} = -\vec{F_B} = -\frac{d\vec{p_B}}{dt}

Voor de totale impuls \vec{p} = \vec{p_A} + \vec{p_B} \! geldt dan:

\frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d\vec{p_A}}{dt} + \frac{d\vec{p_B}}{dt} = 0

De totale impuls van het systeem kan niet veranderen tenzij er een externe kracht op werkt. Dit geldt ook als het systeem bestaat uit meer dan twee voorwerpen of zelfs een continuum.

Impuls en relativiteit[bewerken]

Twee referentiekaders bij Huygens: 1 waarnemer staat op de wal en de ander in een boot.

Er wordt algemeen aangenomen dat de wetten van de natuurkunde invariant zouden moeten zijn voor translatie. Met andere woorden: het moet niet uitmaken of je een verschijnsel waarneemt in stilstand of terwijl je met een constante snelheid beweegt. Christiaan Huygens leidde zijn botsingswetten af door eerst een eenvoudige botsing te bekijken waarbij twee biljartballen elkaar met gelijke snelheid raken, en de botsing daarna in gedachten plaats te laten vinden aan boord van varende trekschuiten.

Toen Albert Einstein met een zelfde soort gedachtenexperiment zijn relativiteitstheorie ontwikkelde, bleek dat de klassieke impuls niet voor verschillende waarnemers behouden kon zijn. Het was daarom nodig de definitie van impuls aan te passen tot een relativistische impuls:

\vec{p} = \gamma m_0 \vec{v} \!

Hierbij is \mathbf{}m_0 de rustmassa en \mathbf{}\gamma de lorentzfactor die afhangt van de verhouding tussen de snelheid en de lichtsnelheid in vacuum. Bij snelheden die klein zijn ten opzichte van de lichtsnelheid is de lorentzfactor vrijwel gelijk aan 1. De definities van klassieke en relativistische impuls komen dan overeen. Maar, wanneer de snelheid in de buurt komt van de lichtsnelheid 'c' neemt de lorentzfactor toe en is de relativistische impuls groter dan de klassieke. De impuls nadert zelfs tot oneindig wanneer de snelheid van het voorwerp de lichtsnelheid nadert. Dit geeft aan waarom de lichtsnelheid nooit gehaald kan worden. Hiervoor is een oneindig grote stoot nodig en dus een kracht die oneindig groot is of oneindig lang werkt.

De relativistische impuls wordt zelfs gebruikt om een relativistische massa \mathbf{}m = \gamma m_0 te definiëren. Bij deze alternatieve rekenmethode in de relativistische mechanica wordt de regel \vec{p} = m \vec{v} behouden.

Met behulp van viervectoren ontstaat een nieuwe invariantie. Die geldt niet voor energie en zelfs niet voor massa, maar wel voor impuls. Zie Behoudswet. In de relativistische mechanica definiëren we de 4-impuls, een vector in vier dimensies:

\left[ E/c, p \right]

waar E de totale energie in het systeem is en de relativistische impuls \vec{p} als volgt gedefinieerd is:

E = \gamma m c^2 \!
\vec{p} = \gamma m \vec{v} \!

De lengte van het 4-impuls blijft constant en ziet er als volgt uit:

\vec{p} \cdot \vec{p} - E^2

Massaloze deeltjes zoals fotonen hebben eveneens een impuls. Voor hen geldt:

p=\frac{E}{c}

waarin E de energie van het foton is. Met deze definitie geldt voor zowel deeltjes met massa als deeltjes zonder massa dat p = \frac{Ev}{c^2}, waar p de lengte van de \vec{p} aangeeft en v de lengte van  \vec{v}. Massaloze deeltjes bewegen zich altijd met de lichtsnelheid.

Impuls in de kwantummechanica[bewerken]

De twee bovenstaande beschrijvingen waren redelijk gelijksoortig, in de kwantummechanica ziet de wereld er echter anders uit. Alle meetbare grootheden worden daar voorgesteld door hermitische operatoren. Zo ook de impuls. De operator voor de impuls is (in de positie-representatie):

\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}

of in meerdere dimensies

 \frac{\hbar}{i} \nabla

Wanneer met deze operator gewerkt wordt in de kwantummechanica, zijn de uitkomsten van de berekeningen (wanneer toegepast op voor de andere methoden gebruikelijke schaal) overigens wel gelijk aan de bovenstaande formules.

Gegeneraliseerde impuls[bewerken]

Gegeneraliseerde impuls is een term die in de theoretische mechanica een belangrijke rol speelt. In het Lagrangeformalisme is die gedefinieerd als:

p_i\equiv\frac{\partial L(q_i, \dot{q_i})}{\partial \dot{q_i}}\qquad(i=1,2,\ldots,n),

waarbij q_i een een plaatscoördinaat en \dot{q_i} een snelheidscoördinaat is in een gegeneraliseerd coördinatenstelsel. Het nummer van de vrijheidsgraad wordt met i aangegeven.

In het Hamiltonformalisme zijn q en p de onafhankelijke gegeneraliseerde coördinaten. Hierin geldt:

\dot q_i=\frac{\partial H(q_i, p_i)}{\partial p_i},\qquad\dot p_i=-\frac{\partial H(q_i, p_i)}{\partial q_i}.

Zie ook[bewerken]

Nota bene[bewerken]

Let op! Het Engelse woord impulse heeft dezelfde betekenis als het Nederlandse stoot, niet als impuls. Het Engelse woord voor impuls is momentum, niet te verwarren met het Nederlandse woord moment, dat in het Engels torque heet (en daarmee lijkt op het Nederlandse woord torsie, dat het gevolg kan zijn van een moment).