Lagrangiaan

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de mechanica is de Lagrangiaan een functie van zogenaamde gegeneraliseerde coördinaten en gegeneraliseerde snelheden, die samen met een stel differentiaalvergelijkingen gebruikt kan worden om de bewegingsvergelijkingen van een systeem af te leiden. Preciezer gezegd is de Lagrangiaan het verschil tussen de kinetische en de potentiële energie van het systeem. Deze methode om het gedrag van een systeem te bepalen wordt het Lagrange-formalisme genoemd, naar de wiskundige Joseph-Louis Lagrange die het in 1782 introduceerde. De integraal van de Lagrangiaan over de tijd geeft de actie van een systeem.

Wiskundige formulering[bewerken]

Er wordt uitgegaan van een systeem met N onderscheidbare onderdelen dat zich beweegt door de 3-dimensionale ruimte, zodat de positie van dat systeem in principe met 3N coördinaten beschreven kan worden. Vaak heeft het systeem beperkingen in zijn bewegingsmogelijkheden, die 'constraints' genoemd kunnen worden. Deze constraints kunnen betrekking hebben op de onderlinge bewegingen van de onderscheidbare onderdelen en op de bewegingen van het hele systeem door de 3-dimensionale ruimte. Is het aantal constraints k, dan kan de werkelijke positie met 3Nk = n gegeneraliseerde coördinaten beschreven worden, waarin die 'constraints' ingecalculeerd zijn. Het aantal vrijheidsgraden van het systeem is dan n. Het voordeel van deze gegeneraliseerde coördinaten q_1,q_2,\ldots,q_n is dat die onderling echt onafhankelijk zijn. Er is echter wel een conversie nodig van het standaard cartesisch coördinatenstelsel naar het gekozen gegeneraliseerde coördinatenstelsel. Hierdoor zal bijvoorbeeld de betrekkelijk eenvoudige uitdrukking voor de kinetische energie van een puntmassa waarschijnlijk ingewikkelder worden.

Een voorbeeld is een karretje op een achtbaan, dat weliswaar in een 3-dimensionale ruimte beweegt, maar niettemin slechts 1 vrijheidsgraad heeft, omdat de rails niet verlaten kunnen worden (als alles goed gaat). De enige q-coördinaat van dit karretje is de afgelegde weg langs de rails.

Twee losse knikkers die in een kom heen en weer rollen, vormen een ander voorbeeld. Als die kom een bolvormige bodem heeft, ligt het voor de hand om op bolcoördinaten over te gaan. De positie van elke knikker kan met twee coördinaten op het bodemoppervlak beschreven worden, zodat het systeem van twee knikkers in totaal 4 vrijheidsgraden heeft. Worden de knikkers door een starre staaf met elkaar verbonden, dan moet dat in een extra 'constraint' uitgedrukt worden, die ten koste gaat van een vrijheidsgraad. Er blijven dan drie vrijheidsgraden over: twee voor de positie van het zwaartepunt van deze constructie op het bodemoppervlak en één voor de rotatiestand ervan in het bordoppervlak.

De afgeleiden van deze onafhankelijke variabelen naar de tijd (de gegeneraliseerde snelheden) noemen we \dot q_1, \dot q_2, \ldots, \dot q_n.. De actuele bewegingstoestand van het systeem ligt vast in de actuele waarden van q_1,q_2,\ldots,q_n en \dot q_1, \dot q_2, \ldots, \dot q_n. We kunnen de kinetische energie T van het systeem uitdrukken in deze gegeneraliseerde snelheden:

T=T(\dot q_1,\dot q_2,\ldots,\dot q_n)

en de potentiële energie V in het algemeen als:

V=V(q_1,q_2,\ldots,q_n,\dot q_1,\dot q_2,\ldots,\dot q_n).

In een conservatief systeem is V niet afhankelijk van gegeneraliseerde snelheden:

V=V(q_1,q_2,\ldots,q_n).

Fysische definitie[bewerken]

In klassieke mechanica is de Lagrangiaan L gedefinieerd als het verschil van de kinetische energie T en de potentiele energie V

L_r = T - V = L_r (\vec r,\dot \vec r,t)

De Lagrangiaan is een functie van de plaats, de snelheid en de tijd.

Uitgaande de klassieke bewegingsvergelijking van Newton kan afgeleid worden dat de bepaalde integraal over de tijd de Lagrangiaan L een extreme waarde moet hebben. Dit is de Actie-integraal. Hierbij worden de standaard plaats- en snelheidsvectoren \vec r en \dot \vec r,t met behulp van de k constraints omgezet in n gegeneraliseerde variabelen q_i en \dot q_i,t, met 1<=i<=n.

Hiermee is Maupertuis' principe van de kleinste werking ofwel Actie wiskundig geformuleerd als een standaardprobleem van de variatierekening. Dankzij de onderlinge onafhankelijkheid van de gegeneraliseerde coördinaten q_i en de bijbehorende gegeneraliseerde snelheden \dot q_i leidt dit tot een stelsel van n 2e orde bewegingsvergelijkingen van Euler-Lagrange:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L_q}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial L_q}{\partial q_i}=0\qquad(i=1,2,\ldots,n).

Uit een bewegingsvergelijking kan met behulp van beginvoorwaarden de bewegingstoestand als functie van de tijd afgeleid worden in het gegeneraliseerde coördinatenstelsel.

Voorbeelden[bewerken]

Massa aan veer[bewerken]

We bekijken een voorwerp met massa m aan een veer met veerconstante C en voldoet aan de wet van Hooke. De uitrekking van de veer wordt beschreven met 1 gegeneraliseerde coördinaat u in een lengte-eenheid, met bijbehorende gegeneraliseerde snelheid \dot u, waarmee de volgende beperking wordt vastgelegd: massa m kan slechts langs een willekeurige rechte lijn in de 3-dimensionale ruimte bewegen. In dit systeem is de kinetische energie gelijk aan

T=\frac{1}{2}m\dot u^2

en de potentiële energie is

V=\frac{1}{2}Cu^2.

Dit houdt in dat de Lagrangiaan gegeven wordt door

L=T-V=\frac{1}{2}m\dot u^2-\frac{1}{2}Cu^2.

De partiële afgeleide van L naar \dot u is m\dot u, en de partiële afgeleide naar u is -Cu. De Euler-Lagrange-vergelijking van het systeem wordt dus

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m\dot u)+Cu=0.


Als de massa m constant is, dan is dit een gewone lineaire 2e orde differentiaalvergelijking, waarvan een oplossing een ongedempte trilling is.

Geladen deeltje in elektromagnetisch veld[bewerken]

De potentiële energie van een deeltje met lading q met een snelheidsvector \vec{u} dat zich beweegt door een scalair elektrisch potentiaalveld \phi \, is q \cdot \phi zodat de Lagrangiaan eenvoudig volgt

L=\frac{1}{2}m \vec{u} \cdot \vec{u} -q \phi .

Indien echter ook een vectorgrootheid B (magnetische inductie) aanwezig is wordt de situatie wat gecompliceerder, er kan immers geen potentiële energie worden toegekend aan een geladen deeltje in een magnetisch veld. Aangezien het magnetisch veld wel degelijk de beweging van het deeltje beïnvloedt, moet de Lagrangiaan als volgt uitgebreid worden:

L=\frac{1}{2}mu^2 -q \phi +q\vec{u} \cdot \vec{A}

met A de magnetische vectorpotentiaal behorend bij het veld B. De relatie tussen deze potentiaalfunctie en de magnetische inductie is:

 \vec{B}=\nabla \times \vec{A} .

En die met de elektrische veldsterkte:

\vec{E} = - \nabla \phi - \frac { \partial \vec{A} } { \partial t }.

Aan de beweging van het geladen deeltje worden hier geen beperkingen opgelegd, dus de gewone Cartesische coördinaten x, y en z kunnen als gegeneraliseerde coördinaten worden gebruikt voor snelheidsvector \vec{u}, met bijbehorende gegeneraliseerde snelheden \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}.

De x-component van de bewegingsvergelijkingen van Lagrange wordt dan:

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial L}{\partial x}.

Invullen van de Lagrangiaan levert met u^2=\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2

\frac{d}{dt}(m\dot{x}+qA_x)=-q\frac{\partial \phi}{\partial x} +q\frac{\partial}{\partial x}(\dot{x}A_x+\dot{y}A_y+\dot{z}A_z)
m \ddot{x}+q \frac{\partial A_x}{\partial t} =-q\frac{\partial \phi}{\partial x}+q(\dot{x}\frac{\partial A_x}{\partial x}+\dot{y}\frac{\partial A_y}{\partial x}+\dot{z}\frac{\partial A_z}{\partial x})

of na herschikken

m \ddot{x}=-q(\frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{\partial A_x}{\partial t})+q[\dot{y}(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})+\dot{z}(\frac{\partial A_z}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial z})].

Pas nu de relatie tussen elektrische veldsterkte E en magnetische inductie B enerzijds en vectorpotentiaal A anderzijds toe:

m \ddot{x}=qE_x+q(\dot{y}B_z-\dot{z}B_y).

Dit is precies de x-component van de bewegingsvergelijking van een geladen deeltje in een elektromagnetisch veld. Voor de overige componenten volgt iets soortgelijks, wat de voorgestelde Lagrangiaan rechtvaardigt.

Toepassing in de kwantummechanica[bewerken]

De Amerikaanse nobelprijswinnaar Richard Feynman heeft in 1948 met zijn padintegralen een heel elegant verband gelegd tussen de Lagrangiaan van een mechanisch systeem en de kwantummechanische golffunctie van datzelfde systeem.

Zie ook[bewerken]