Bolcoördinaten

Een punt kan ook aangeduid worden met behulp van de lengte r van de voerstraal en twee hoeken, $\theta$ en $\varphi$

Bolcoördinaten vormen een driedimensionaal coördinatenstelsel, vergelijkbaar met het tweedimensionale stelsel van poolcoördinaten. Net als in twee dimensies wordt de afstand $r$ van het driedimensionale punt P tot de oorsprong als eerste coördinaat gebruikt. Als tweede coördinaat gebruikt men de hoek $\theta$ die de lijn OP met de positieve z-as maakt, dus met een waarde in het interval $[ 0,\pi].$ De derde coördinaat is de hoek $\varphi$ in het xy-vlak.

Opgemerkt moet worden dat de hier gebruikte notatie de gebruikelijke is in de natuurkunde. In wiskundige context worden vaak de rollen van $\theta$ en $\varphi$ omgewisseld, wat een bron van verwarring is. Ook wordt wel in plaats van $r$ het symbool $\rho$ gebruikt.

Het verband tussen de Cartesische coördinaten $(x,y,z)$ en de bolcoördinaten $(r,\theta,\varphi)$ wordt gegeven door:

$x=r\ \sin(\theta) \cos(\varphi)$

$y=r\ \sin(\theta) \sin(\varphi)$

$z=r\ \cos(\theta)$

Op de z-as is het stelsel gedegenereerd: voor $\theta=0$ doet de hoek $\varphi$ niet meer ter zake en geldt $(x,y,z) = (0,0,r)$. Evenzo: voor $\theta=\pi$ geldt $(x,y,z) = (0,0,-r)$.

Jacobiaan

De Jacobi-matrix van deze transformatie is:

$J= \frac{\partial (r,\theta,\varphi)}{\partial (x,y,z)} = \begin{bmatrix} \frac xr & \frac yr & \frac zr \\ \frac{xz}{r^2 \sqrt{x^2+y^2}} & \frac{yz}{r^2 \sqrt{x^2+y^2}} & \frac{-(x^2+y^2)}{r^2 \sqrt{x^2+y^2}} \\ \frac{-y}{x^2+y^2} & \frac{x}{x^2+y^2} & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin(\theta)\cos(\varphi) & \sin(\theta)\sin(\varphi) & \cos(\theta) \\ \frac 1r \cos(\theta)\cos(\varphi) & \frac 1r \cos(\theta)\sin(\varphi) & -\frac 1r \sin(\theta) \\ -\frac 1r\frac{ \sin(\varphi)}{\sin(\theta)} & \frac 1r \frac{\cos(\varphi)}{\sin(\theta)} & 0 \end{bmatrix}$

Omgekeerd

$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta,\varphi)} = \begin{bmatrix} \sin(\theta)\cos(\varphi) & r \cos(\theta)\cos(\varphi) & -r \sin(\theta)\sin(\varphi) \\ \sin(\theta)\sin(\varphi) & r \cos(\theta)\sin(\varphi) & r \sin(\theta)\cos(\varphi) \\ \cos(\theta) & -r \sin(\theta) & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac xr & \frac {zx}{\sqrt{x^2+y^2}} & -y \\ \frac yr & \frac {zy}{\sqrt{x^2+y^2}} & x \\ \frac zr & -\sqrt{x^2+y^2} & 0 \end{bmatrix}$

Coördinatentransformatie

Een functie f van de drie veranderlijken x, y en z krijgt in bolcoördinaten de gedaante:

$f_B(r,\theta,\varphi) = f(r\ \sin(\theta) \cos(\varphi),r\ \sin(\theta) \sin(\varphi),r\ \cos(\theta)).\,$

Een vectorveld F, met in het punt (x,y,z) de componenten

$F_x(x,y,z),F_y(x,y,z)\,$ en $F_z(x,y,z)\,$,

wordt ontbonden in een component langs de voerstraal $r$ en loodrecht daarop in een component in de "richting" van $\varphi$ en in de "richting" van $\theta$, de laatste rakend aan de cirkel om de oorsprong door $r$ in het vlak door $r$ en de z-as en de eerste loodrecht hierop, rakend aan de cirkel om de z-as, door $r$ en evenwijdig aan het xy-vlak. Voor deze componenten geldt:

$F_r = F_x\sin(\theta)\cos(\varphi)+F_y\sin(\theta)\sin(\varphi)+F_z\cos(\theta) \!$

$F_\theta =-F_x\sin(\varphi)+F_y\cos(\varphi)\!$

$F_\varphi= F_x\cos(\theta)\cos(\varphi)+F_y\cos(\theta)\sin(\varphi)-F_z\sin(\theta) \!$

Omgekeerd:

$F_x = F_r\cos(\varphi)\sin(\theta)-F_\varphi\sin(\varphi)+F_\theta\cos(\varphi)\cos(\theta)\!$

$F_y = F_r\sin(\varphi)\sin(\theta)+F_\varphi\cos(\varphi)+F_\theta\sin(\varphi)\cos(\theta)\!$

$F_z =F_r\cos(\theta)-F_\theta\sin(\theta)\!$

Voorbeeld

De functie f gedefinieerd door:

$f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2\,$

heeft in bolcoördinaten de vorm:

$f_B(r,\theta,\varphi) =f(r\ \sin(\theta) \cos(\varphi),r\ \sin(\theta) \sin(\varphi),r\ \cos(\theta)) =$

$(r\ \sin(\theta) \cos(\varphi))^2+(r\ \sin(\theta) \sin(\varphi))^2+(r\ \cos(\theta))^2=r^2\,$

Het vectorveld F gedefinieeerd door:

$F_x(x,y,z) = x$

$F_y(x,y,z) = y$

$F_z(x,y,z) = z$

heeft in bolcoördinaten de vorm:

$F_r(r,\theta,\varphi)= F_x\sin(\theta)\cos(\varphi)+F_y\sin(\theta)\sin(\varphi)+F_z\cos(\theta)= \!$

$x\sin(\theta)\cos(\varphi)+y\sin(\theta)\sin(\varphi)+z\cos(\theta)=r \,$

$F_\theta(r,\theta,\varphi) =-F_x\sin(\varphi)+F_y\cos(\varphi)= -x\sin(\varphi)+y\cos(\varphi)=0 \,$

$F_\varphi(r,\theta,\varphi) = F_x\cos(\theta)\cos(\varphi)+F_y\cos(\theta)\sin(\varphi)-F_z\sin(\theta)= \!$

$x\cos(\theta)\cos(\varphi)+y\cos(\theta)\sin(\varphi)-z\sin(\theta)=0 \,$

Zie ook

• Gegeneraliseerde coördinaten
• Cilindercoördinaten
• Geografische coördinaten