Bolcoördinaten

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een punt kan ook aangeduid worden met behulp van de lengte r van de voerstraal en twee hoeken, \theta en \varphi

Bolcoördinaten vormen een driedimensionaal coördinatenstelsel, vergelijkbaar met het tweedimensionale stelsel van poolcoördinaten. Net als in twee dimensies wordt de afstand r van het driedimensionale punt P tot de oorsprong als eerste coördinaat gebruikt. Als tweede coördinaat gebruikt men de hoek \theta die de lijn OP met de positieve z-as maakt, dus met een waarde in het interval [ 0,\pi]. De derde coördinaat is de hoek \varphi in het xy-vlak.

Opgemerkt moet worden dat de hier gebruikte notatie de gebruikelijke is in de natuurkunde. In wiskundige context worden vaak de rollen van \theta en \varphi omgewisseld, wat een bron van verwarring is. Ook wordt wel in plaats van r het symbool \rho gebruikt.

Het verband tussen de Cartesische coördinaten (x,y,z) en de bolcoördinaten (r,\theta,\varphi) wordt gegeven door:

x=r\ \sin(\theta) \cos(\varphi)
y=r\ \sin(\theta) \sin(\varphi)
z=r\ \cos(\theta)

Op de z-as is het stelsel gedegenereerd: voor \theta=0 doet de hoek \varphi niet meer ter zake en geldt (x,y,z) = (0,0,r). Evenzo: voor \theta=\pi geldt (x,y,z) = (0,0,-r).

Jacobiaan[bewerken]

De Jacobi-matrix van deze transformatie is:

J=
\frac{\partial (r,\theta,\varphi)}{\partial (x,y,z)}
=
\begin{bmatrix}
\frac xr & \frac yr & \frac zr \\
\frac{xz}{r^2 \sqrt{x^2+y^2}} & \frac{yz}{r^2 \sqrt{x^2+y^2}} & \frac{-(x^2+y^2)}{r^2 \sqrt{x^2+y^2}} \\
\frac{-y}{x^2+y^2} & \frac{x}{x^2+y^2} & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\sin(\theta)\cos(\varphi) & \sin(\theta)\sin(\varphi) & \cos(\theta) \\
\frac 1r \cos(\theta)\cos(\varphi) & \frac 1r \cos(\theta)\sin(\varphi) & -\frac 1r \sin(\theta) \\
-\frac 1r\frac{ \sin(\varphi)}{\sin(\theta)} & \frac 1r \frac{\cos(\varphi)}{\sin(\theta)} & 0 
\end{bmatrix}

Omgekeerd


\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta,\varphi)}
=
\begin{bmatrix}
\sin(\theta)\cos(\varphi) & r \cos(\theta)\cos(\varphi) & -r \sin(\theta)\sin(\varphi)  \\
\sin(\theta)\sin(\varphi) & r \cos(\theta)\sin(\varphi) & r \sin(\theta)\cos(\varphi) \\
\cos(\theta) & -r \sin(\theta) & 0 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac xr & \frac {zx}{\sqrt{x^2+y^2}} & -y \\
\frac yr & \frac {zy}{\sqrt{x^2+y^2}} &  x  \\
\frac zr & -\sqrt{x^2+y^2} & 0 
\end{bmatrix}

Coördinatentransformatie[bewerken]

Een functie f van de drie veranderlijken x, y en z krijgt in bolcoördinaten de gedaante:

f_B(r,\theta,\varphi) = f(r\ \sin(\theta) \cos(\varphi),r\ \sin(\theta) \sin(\varphi),r\ \cos(\theta)).\,

Een vectorveld F, met in het punt (x,y,z) de componenten

F_x(x,y,z),F_y(x,y,z)\, en F_z(x,y,z)\,,

wordt ontbonden in een component langs de voerstraal r en loodrecht daarop in een component in de "richting" van \varphi en in de "richting" van \theta, de laatste rakend aan de cirkel om de oorsprong door r in het vlak door r en de z-as en de eerste loodrecht hierop, rakend aan de cirkel om de z-as, door r en evenwijdig aan het xy-vlak. Voor deze componenten geldt:

F_r  = F_x\sin(\theta)\cos(\varphi)+F_y\sin(\theta)\sin(\varphi)+F_z\cos(\theta) \!
F_\theta  =-F_x\sin(\varphi)+F_y\cos(\varphi)\!
F_\varphi= F_x\cos(\theta)\cos(\varphi)+F_y\cos(\theta)\sin(\varphi)-F_z\sin(\theta) \!

Omgekeerd:

F_x = F_r\cos(\varphi)\sin(\theta)-F_\varphi\sin(\varphi)+F_\theta\cos(\varphi)\cos(\theta)\!
F_y = F_r\sin(\varphi)\sin(\theta)+F_\varphi\cos(\varphi)+F_\theta\sin(\varphi)\cos(\theta)\!
F_z =F_r\cos(\theta)-F_\theta\sin(\theta)\!

Voorbeeld[bewerken]

De functie f gedefinieerd door:

f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2\,

heeft in bolcoördinaten de vorm:


f_B(r,\theta,\varphi) =f(r\ \sin(\theta) \cos(\varphi),r\ \sin(\theta) \sin(\varphi),r\ \cos(\theta)) =

(r\ \sin(\theta) \cos(\varphi))^2+(r\ \sin(\theta) \sin(\varphi))^2+(r\ \cos(\theta))^2=r^2\,

Het vectorveld F gedefinieeerd door:

F_x(x,y,z) = x
F_y(x,y,z) = y
F_z(x,y,z) = z

heeft in bolcoördinaten de vorm:


F_r(r,\theta,\varphi)= F_x\sin(\theta)\cos(\varphi)+F_y\sin(\theta)\sin(\varphi)+F_z\cos(\theta)=
\!

x\sin(\theta)\cos(\varphi)+y\sin(\theta)\sin(\varphi)+z\cos(\theta)=r
\,


F_\theta(r,\theta,\varphi)   =-F_x\sin(\varphi)+F_y\cos(\varphi)=
-x\sin(\varphi)+y\cos(\varphi)=0
\,


F_\varphi(r,\theta,\varphi) = F_x\cos(\theta)\cos(\varphi)+F_y\cos(\theta)\sin(\varphi)-F_z\sin(\theta)=
\!

x\cos(\theta)\cos(\varphi)+y\cos(\theta)\sin(\varphi)-z\sin(\theta)=0
\,

Zie ook[bewerken]