Cartesisch coördinatenstelsel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Illustratie van een cartesisch coördinaten-stelsel. Vier punten worden gemarkeerd en geëtiketteerd met hun coördinaten. (2,3) in het groen, (-3,1) in het rood, (-1.5, -2.5) in het blauw en de oorsprong (0,0) in het paars.

Een cartesisch coördinatenstelsel is een orthogonaal coördinatenstelsel waarbij de afstand tussen twee coördinaatlijnen constant is. Voor elke dimensie is er een as en de assen staan onderling loodrecht op elkaar. Alle punten in dit stelsel, die gegeven worden door hun coördinaten ten opzichte van de assen, vormen samen het cartesisch vlak.

Het is het meest gebruikte coördinatenstelsel, omdat in dit stelsel meetkundige zaken het beste beschreven kunnen worden.

Geschiedenis[bewerken]

Het cartesisch coördinatenstelsel is genoemd naar zijn bedenker de Franse wiskundige en filosoof René Descartes; zijn Latijnse naam was Cartesius.

Descartes ontwikkelde het idee voor dit systeem in 1637 in de volgende publicaties:

  • Discours de la méthode
    • In het tweede deel introduceert hij het nieuwe idee om de positie van een punt of object op een vlak aan te duiden door gebruik te maken van twee snijdende assen als meetlijn.
  • La Géométrie,
    • hierin werkt hij dat idee verder uit.

Definitie[bewerken]

Getallenlijn[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Reële lijn voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Het kiezen van een cartesisch coördinatenstelsel voor een eendimensionale ruimte - dat wil zeggen voor een rechte lijn - betekent het kiezen van een punt O, de oorsprong, op die lijn, een eenheid van lengte, en een oriëntatie voor de lijn. Dit laatste betekent het kiezen van welke van de twee halve lijnen die door O worden bepaald de positieve en welke de negatieve is; wij zeggen dan dat de lijn georiënteerd is (of zich richt) van de negatieve helft naar de positieve helft. Dan kan elk punt p van de lijn worden gespecificeerd door de afstand tot O, genomen met een + of - teken, afhankelijk van welke halve lijn p bevat.

Een regel met een gekozen Cartesiaans systeem noemt men de getallenlijn. Elk reëel getal, of het nu een geheel getal, rationaal getal of irrationaal getal is, heeft een unieke locatie op de lijn. Omgekeerd kan elk punt op de lijn worden geïnterpreteerd als een getal in een geordend continuüm, dat de reële getallen bevat.

Twee dimensies[bewerken]

Een cartesisch coördinatenstelsel in twee dimensies is bepaald door twee assen die loodrecht op elkaar staan. De punten in zo'n assenstelsel vormen een vlak, het xy-vlak. De assen worden bij het tekenen meestal horizontaal en verticaal gekozen. De horizontale as wordt de x-as genoemd en de verticale as de y-as. Het punt waar de twee assen elkaar snijden wordt de oorsprong genoemd, aangegeven met O. Op elke as wordt een schaalverdeling gekozen van punten op gelijke onderlinge afstand van een eenheidslengte. Een specifiek punt in het cartesisch vlak wordt aangegeven door het coördinatenpaar (x,y), gevormd door de coördinaten x en y van het punt die de gerichte afstanden van het punt tot de beide assen voorstellen. Voorbeeld: het punt (5,2) in de afbeelding hieronder.

Cartesiancoordinates2D.jpg

De pijlen op de assen geven aan dat ze oneindig lang zijn in die richting. De twee assen definiëren samen vier kwadranten, aangegeven met de Romeinse cijfers I, II, III en IV. De kwadranten worden tegen de klok in benoemd beginnend bij het kwadrant rechtsboven. In onderstaande tabel staan de waarden op de x- en y-as voor de kwadranten.

Kwadrant x waarden y waarden
I > 0 > 0
II < 0 > 0
III < 0 < 0
IV > 0 < 0

Drie dimensies[bewerken]

Vroeg in de 19e eeuw is het stelsel uitgebreid naar drie dimensies. Hiervoor is er een nieuwe as geïntroduceerd, de z-as.

Een punt in een driedimensionale ruimte wordt aangegeven met (x,y,z). Een voorbeeld van een driedimensionaal cartesisch coördinatenstelsel is in de hier onderstaande afbeelding te zien. In de afbeelding staat het punt (2,3,4) afgebeeld.

Coord system CA 0.svg

Oriëntatie[bewerken]

In drie dimensies zijn er twee manieren om de drie assen onderling loodrecht op elkaar te zetten, via het linkshandig coördinatenstelsel en het rechtshandig coördinatenstelsel. De afbeelding hierboven is een rechtshandig coördinatenstelsel. Dit kun je als volgt controleren. Houd de vier vingers van de rechterhand denkbeeldig vanuit de oorsprong gezien in de richting van de positieve x-as. Draai nu de vier vingers richting de positieve y-as. Als tijdens deze handeling de duim in de richting van de positieve z-as wijst, dan hebben we te maken met een rechtshandig systeem. Men kan het ook als volgt uitleggen: als men de duim, wijsvinger en middenvinger, van de rechterhand, in die volgorde langs de x-, y- en z-as kan leggen, heeft men een rechtshandig assenstelsel.

Houding van de rechterhand voor een rechtshandig assenstelsel

Rechtshandig: Righthandedcartesian.png

Linkshandig: Lefthandedcartesian.png

Wanneer de z-as naar boven wijst, wordt het soms een wereldcoördinatenstelsel genoemd, zoals in bovenstaande afbeelding. Het belangrijkste is echter in welke richting de assen met hun positieve kant wijzen ten opzichte van elkaar. Als we een afbeelding in het rechtshandig systeem in een linkshandig systeem punt voor punt zouden visualiseren dan zouden we het spiegelbeeld krijgen.

Het linkshandig systeem wordt ook gebruikt, zij het minder dan het rechtshandig systeem.

Transformatie[bewerken]

Een assenkruis kan ook worden getransformeerd. Hierbij veranderen de coördinaten van de punten in het assenstelsel. In principe zijn er twee vormen van tranformatie te onderscheiden. In het eerste geval verandert de oorsprong, maar blijven de assen evenwijdig met de oorspronkelijk assen; dit wordt ook wel translatie genoemd. In het tweede geval blijft de oorsprong gelijk, maar verandert de richting van de assen: dit heet rotatie (draaiing). De hoek van rotatie wordt daarbij aangeduid met de griekse letter Φ. Combinaties van beide vormen van transformatie kunnen ook voorkomen.

Referenties[bewerken]

  • Descartes, René. Oscamp, Paul J. (trans). Discourse on Method, Optics, Geometry, and Meteorology. 2001.

Zie ook[bewerken]