Poolcoördinaten

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
(r,θ) is een stel poolcoördinaten van P
De punten (3;60°) en (4;210°) in poolcoördinaten

In de wiskunde kan de plaats van een punt in een vlak vastgelegd worden door middel van coördinaten. Daartoe is een referentiekader nodig. Bij poolcoördinaten bestaat dit in het vlak gelegen referentiekader, uit een vast punt O, de pool, en een halfrechte door dit punt, de poolas.

De coördinaat r van een punt P is de afstand OP. Als tweede coördinaat θ kiest men een waarde van de georiënteerde hoek welke de halfrechte van O door P insluit met de vaste halfrechte. Het coördinatenkoppel (r,θ) heet een stel poolcoördinaten van punt P. Uit deze definitie volgt onmiddellijk dat het punt P vele stellen poolcoördinaten heeft. Als (r,θ) een stel poolcoördinaten van punt P is - met θ een aantal radialen - dan is ( r, θ + 2π ) ook een stel coördinaten van P en dan zijn (r, θ + 2 kπ) met k geheel, alle stellen poolcoördinaten van P. De waarde θ kan ook in graden worden uitgedrukt. Voor de pool zelf is r = 0 en θ willekeurig.

Poolcoördinaten en cartesische coördinaten[bewerken]

Overgang van pool- naar cartesische coördinaten

Het verband tussen de cartesische coördinaten (x,y) en de poolcoördinaten (r,θ) wordt gegeven door:

\!x=r\ \cos(\theta)
\!y=r\ \sin(\theta)

Omgekeerd geldt:

r=\sqrt{x^2+y^2}\!
\theta=\arctan(y,x)\!

Hierin is gebruikgemaakt van de uitgebreidere definitie van de arctangens:

\arctan(y,x)=-i\log\left(\frac{x+iy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)\!

Met behulp van de gewone arctangens kan men de hoek θ als volgt in het interval [−π, π] bepalen:

\theta = \begin{cases}
\arctan(\frac yx) & \mbox{voor}\ x > 0\\
\arctan(\frac yx) + \pi & \mbox{voor}\ x < 0,\ y \geq 0\\
\arctan(\frac yx) - \pi & \mbox{voor}\ x < 0,\ y < 0\\
+\frac 12 \pi & \mbox{voor}\ x = 0,\ y > 0\\
-\frac 12\pi & \mbox{voor}\ x = 0,\ y < 0\\
\end{cases}

Voorbeeld[bewerken]

Het punt met cartesische coördinaten (3,2)
Poolcoördinaten van het punt met cartesische coördinaten (3,2)

Nemen we als voorbeeld in de tweedimensionale ruimte het punt met gewone coördinaten:

x=3, y =2\!.

Dit punt heeft als poolcoördinaten:

r = \sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}

en

\theta=\arctan(\frac{2}{3}).

Als men een integraal in het xy-vlak moet omzetten naar een integraal in r en θ, worden dx en dy als functie van dr en dθ gegeven door:

\displaystyle dx = dr\cdot \cos\theta -r\sin\theta d\theta
\displaystyle dy = dr\cdot \sin\theta +r\cos\theta d\theta

In matrixnotatie wordt dit:

 \begin{vmatrix} dx \\ dy \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\
 \sin\theta & r\cos\theta \\\end{vmatrix} \begin{vmatrix} dr \\ d\theta\\ \end{vmatrix}.

De determinant van de matrix is r . Dit betekent dat een oppervlak dx·dy = r·dr·dθ. De elementen van de matrix zijn de partiële afgeleiden van x en y naar r en θ

 dx\cdot dy = \left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}\right| dr\cdot d\theta.

Men noemt deze matrix van de partiële afgeleiden de Jacobiaan van de coördinatentransformatie:

J=
\frac{\partial (r,\theta)}{\partial (x,y)}=
\begin{bmatrix}
\frac xr & \frac yr \\
\frac{-y}{r^2} & \frac x{r^2}
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & \sin(\theta) \\
-\frac 1r \sin(\theta) & \frac 1r \cos(\theta) 
\end{bmatrix}

Omgekeerd:


\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}
=
\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & -r \sin(\theta)\\
\sin(\theta) & r \cos(\theta)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac xr& -y \\
\frac yr &  x 
\end{bmatrix}

Vectorveld[bewerken]

Het is gebruikelijk een vectorveld

F(x,y)=(F_x(x,y),F_y(x,y))\,

in poolcoördinaten te ontbinden in een component F_r langs de poolstraal en een component F_\theta loodrecht daarop in de richting van de hoek θ. Voor deze componenten geldt:

F_r =\ F_x\cos(\theta)+F_y\sin(\theta)\,
F_\theta = -F_x\sin(\theta)+F_y\cos(\theta)\,

Omgekeerd:

F_x =F_r\cos(\theta)-F_\theta\sin(\theta)\,
F_y = F_r\sin(\theta)+F_\theta\cos(\theta)\,

Complexe getallen[bewerken]

Een voorbeeld van een complex getal op het complexe vlak.

Poolcoördinaten kunnen ook worden gebruikt om complexe getallen weer te geven in het complexe vlak. Het complexe getal Z kan Carthesisch worden weergeven als: z = x + iy\, waarbij x het reële deel is en y het imaginaire deel. Het kan echter ook worden weergevel als: z = re^{\theta i} waarbij r de straal is en θ de hoek ( in radialen ).

Hieruit ziet men al snel dat de Identiteit van Euler: e^{i\pi} + 1 = 0\! geldt, omdat θ = π, dus een halve cirkel en r = 1 en men dus op de reële getallen lijn bij -1 uitkomt. Tel daar 1 bij op en je krijgt 0.

Poolvergelijking[bewerken]

Een poolvergelijking is de uitdrukking van een wiskundig verband tussen de variabelen r en θ. Dit verband wordt meestal uitgedrukt in de vorm r = f(θ), of impliciet als F(r,θ)=0. Ten opzichte van een gekozen poolcoördinatenstelsel corresponderen met de oplossingen van dergelijke vergelijking punten in een vlak. De verzameling van al die punten P vormt de grafiek van de poolvergelijking. In poolvergelijkingen wordt het getal θ altijd opgevat als een aantal radialen.
Met een punt P corresponderen veel stellen poolcoördinaten. Het is voldoende dat één van deze stellen een oplossing is van een poolvergelijking opdat P tot de grafiek van die vergelijking zou behoren.
Eenzelfde grafiek kan verschillende poolvergelijkingen hebben.

Als bij poolvergelijking in de vorm r = f(θ) de variabele θ een interval van lengte 2π doorloopt krijgt men in het algemeen slechts een deel van de kromme die men krijgt als θ alle reële getallen doorloopt.

richting van de raaklijn in P

Om de richting van een kromme K in een punt P=(r,θ) verschillend van de pool te kunnen berekenen, wordt de raaklijn t in P aan K georiënteerd in de zin van de toenemende waarden van θ. α is de hoek die t in P insluit met OP (zie figuur). De hoek α is een maat voor de richting van de kromme in punt P. Er geldt dat  \cot \alpha gelijk is aan de afgeleide naar θ van ln(r). De hoek α is constant bij een logaritmische spiraal.

Alternatieve definitie van poolcoördinaten[bewerken]

(r,θ) en (-r,θ+π) zijn stellen poolcoördinaten van het punt P

In sommige gevallen kan het nuttig dat de eerste coördinaat r ook negatieve waarden kan aannemen. Om dit mogelijk te maken kan men uitgaan van een licht gewijzigde definitie van het poolcoördinatenstelsel.

Het referentiekader bestaat dan uit een vast punt O, de pool en een as door dit punt, de poolas. Om de poolcoördinaten van een punt P vast te leggen kiest men nu een as u door OP. De abscis r van het punt P op die as (met oorsprong O) is de eerste coördinaat r van P. Deze waarde kan negatief zijn. Als tweede coördinaat kiest men een van de mogelijke waarden van de geöriënteerde hoek θ die de as u insluit met de poolas.

Ook hier kan het punt P vele stellen poolcoördinaten hebben. Als (r,θ) een stel poolcoördinaten van punt P is - met θ in radialen - dan is ( -r, θ + π) ook een stel poolcoördinaten van P, en dan zijn (r, θ + 2kπ €) en (-r, θ + π + 2k€π ), met k geheel, alle stellen poolcoördinaten van P. De waarde θ kan ook in graden worden uitgedrukt.

Als r een differentieerbare functie van θ is die door nul gaat voor θ = θ0, dan raakt de door r beschreven kromme daar aan de lijn θ = θ0. Bij toelaten van een negatieve r gaat voor die θ de kromme door O, anders stopt de kromme bij O. Als de functie terug door nul gaat bij θ = θ1 met r < 0 voor θ0 < θ < θ1, dan is de kromme bij toelaten van een negatieve r een gladde zichzelf in O snijdende kromme. Als een negatieve r niet wordt toegelaten vervalt het deel θ0 < θ < θ1, en heeft de kromme in O een knik.

In natuurkundige formules betekent r vaak de norm (grootte) van de plaatsvector r. Dat is dan een niet-negatieve grootheid, die dus onderscheiden moet worden van de r zoals hier gebruikt, die negatief kan zijn. Een grootheid kan alleen in termen van zo'n laatstgenoemde r (en θ) worden uitgedrukt als de uitdrukking correct blijft bij negatieve r. Zo is de grootte van de middelpuntzoekende versnelling dan niet r \omega^2, maar \mid r \mid \omega^2; anders gezegd: de versnelling is dan in de richting van afnemende \mid r \mid en niet noodzakelijk in de richting van afnemende r. Rekening moeten houden met een negatieve r wordt zo al gauw onnodig ingewikkeld.

Voorbeelden[bewerken]

Rechte lijn[bewerken]

De vergelijking in poolcoördinaten van een halfrechte (of als r negatief kan zijn een rechte lijn) door de pool is van de vorm θ = constante .
Een vergelijking van een rechte lijn die niet door de pool gaat is r = b / cos(θ − θ0), waarbij b de afstand van de lijn tot de oorsprong is en θ0 de richting loodrecht op de lijn.

Een vergelijking van de rechte door de de punten A(r_1,\theta_1) en B(r_2,\theta_2) is

 r_1 . r_2 \sin(\theta_2 - \theta_1) 
+ r_2 . r \sin(\theta - \theta_2) + r . r_1 \sin(\theta_1 - \theta) = 0

(of r negatief kan zijn maakt in deze gevallen niet uit).

Cirkel[bewerken]

Een poolvergelijking van een cirkel met middelpunt in de pool en straal R is r = R.

Een vergelijking van een cirkel met middelpunt  (r_1,\theta_1) en straal R is

 r^2 -2 r r_1 \cos(\theta - \theta_1) + r_1^2 = R^2

De grafiek van

  r = 2 R \cos \theta

is een cirkel met middelpunt (R,0) door de pool O.

Of r negatief kan zijn maakt in deze gevallen niet uit.

Kegelsnede[bewerken]

Een poolvergelijking van een kegelsnede met excentriciteit e, een brandpunt in de pool en de corresponderende richtlijn loodrecht op de poolas is van de vorm

 r = \frac{ p}{1 - e \cos \theta }

Hierin is p een parameter.

Als r niet negatief mag worden is de grafiek van de vergelijking in het geval van een hyperbool slechts één tak, en moet p in de overige gevallen positief zijn.  r = 5/(1+3 \cos \theta ) en  r = 5/(-1+3 \cos \theta ) zijn bijvoorbeeld als een negatieve r niet wordt toegelaten de vergelijkingen van de takken van een hyperbool, maar anders elk de vergelijking van de hele hyperbool.

De poolvergelijking van een ellips met de pool in het middelpunt en de poolas op de lange as, en met lange as 2a en korte as 2b is:

r=\frac{ab}{\sqrt{(b \cos \theta)^2 + (a\sin \theta)^2}}

Rotatie en poolvergelijking[bewerken]

r = sin(2θ) ; In rechtse figuur is r niet negatief

Draait men een kromme K met poolvergelijking F(r,θ)=0 om de pool over een hoek α, dan heeft de gewentelde kromme een vergelijking F(r,θ - α)=0.

Voorbeeld:

We nemen de kromme K met poolvergelijking r = \sin 2\theta. We wentelen de kromme over π radialen om de pool. De vergelijking van de gewentelde kromme K' is dan

  r =  \sin 2(\theta-\pi) \Leftrightarrow  r = \sin(2\theta-2\pi) \Leftrightarrow   
r = \sin 2\theta

We vinden dezelfde vergelijking als voor de kromme K. K en K' vallen samen. De kromme K is invariant voor een rotatie om de pool over π radialen.

Hogere dimensies[bewerken]

Poolcoördinaten zijn ook geschikt voor gebruik in meer dan twee dimensies. Er zijn verschillende generalisaties mogelijk. In het algemeen geldt dat een punt in de n-dimensionale ruimte geïdentificeerd wordt door (r, \theta_1, \ldots, \theta_{n - 1}), een voerstraal en n-1 welgedefinieerde hoeken.

Externe links[bewerken]

Zie ook[bewerken]