Complexe vlak

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Geometrische representatie van z en de geconjugeerde \bar{z} in het complexe vlak. De afstand langs het lichtblauwe lijnstuk van de oorsprong naar punt z is de modulus of ook wel de absolute waarde van z. De hoek φ is het argument van z.

In de wiskunde is het complexe vlak een geometrische weergave van de complexe getallen, bestaande uit een reële as en loodrecht daarop geplaatst de imaginaire as. Het complexe vlak kan worden gezien als een aangepast Cartesiaans vlak, waar het reële deel van een complex getal wordt weergegeven door een verplaatsing langs de x-as en het imaginaire deel door een verplaatsing langs de y-as.

Het complexe vlak wordt soms ook Argandvlak genoemd, omdat dit wordt gebruikt in Arganddiagrammen. Deze heten zo, omdat zij zijn genoemd naar Jean-Robert Argand, hoewel zij eerst zijn beschreven door de Noors-Deense landmeter en wiskundige Caspar Wessel. Wessels uiteenzetting werd in 1797 gepresenteerd aan de Deense Akademie. Argands werk werd in 1806 door hem zelf gepubliceerd. (Whittaker & Watson, 1927, p. 9). Arganddiagrammen worden vaak gebruikt om posities van de polen en nullen van een functie in de complexe ruimte te tekenen.

Het concept van het complexe vlak staat een meetkundige interpretatie toe van de complexe getallen. De som van twee complexe getallen is hun vectoriële som, en het product van twee complexe getallen kan het gemakkelijkst worden uitgedrukt in poolcoördinaten, waar de grootte (of modulus) van de twee poolcoördinaten het product is van de twee absolute waarden, en waar de resulterende hoek van het product gelijk is de som van de twee hoeken.

Om die reden worden Arganddiagrammen vaak gebruikt om posities van de polen en nullen van een functie in de complexe ruimte te plotten. Een vermenigvuldiging met een complex getal met modulus 1 kan als een rotatie worden geïnterpreteerd. Het complexe vlak wordt vaak gebruikt om fysische processen te visualiseren. Zo wordt een harmonische trilling gezien als een cirkelbeweging om de oorsprong in het complexe vlak. De projectie op de x-as is het reële deel van de trilling, dat er in de tijd gezien uitziet als een sinus of cosinus.

Afspraken over de notatie[bewerken]

In de complexe analyse worden de complexe getallen gewoonlijk door het symbool z weergegeven. Een complex getal z bestaat uit een reëel (x) en een imaginair (y) deel:

z = x + iy \,

waar i voor de imaginaire eenheid staat. In deze gebruikelijke notatie komt het complexe getal z overeen met het punt (x,y) in het Cartesische vlak.

In het Cartesiaanse vlak kan het punt (x, y) ook als volgt in poolcoördinaten worden gerepresenteerd.

(x, y) = (r\cos\theta, r\sin\theta)\qquad(r, \theta) = \left(\sqrt{x^2+y^2}, \quad \arctan\frac{y}{x}\right).\,

In het Cartesiaanse vlak mag worden aangenomen dat de arctangens waarden aanneemt tussen -π/2 en π/2 (in radiaal (wiskunde)radialen). Enige voorzichtigheid moeten worden betracht in de definitie van de reële arctangensfunctie voor de punten (x,y) wanneer x ≤ 0. In het complexe vlak nemen deze polaire coördinaten de onderstaande vorm aan

z = x + iy = |z|\left(\cos\theta + i\sin\theta\right) = |z|e^{i\theta}\,

waar

|z| =  \sqrt{x^2+y^2}; \quad \theta = \arg(z) = \frac{1}{i}\ln\frac{z}{|z|} = -i\ln\frac{z}{|z|}.\,[1]

Hier is |z| de absolute waarde of modulus van het complexe getal z; θ, het argument van z, wordt meestal gekozen uit het interval 0 ≤ θ <2π, en de laatste gelijkheid ((naar |z|e) wordt overgenomen uit de formule van Euler. Merk op dat het argument van z multi-gewaardeerd is, omdat de complexe exponentiële functie periodiek is met periode 2πi. Als dus θ een waarde voor arg(z) is, worden de andere waarden gegeven door arg(z) = θ + 2, waar n enig geheel getal ≠ 0 is.[2] Hoewel zelden expliciet gebruikt, is de meetkundige weergave van de complexe getallen impliciet gebaseerd op de structuur van een Euclidische vectorruimte van dimensie 2, waar het inwendig product van de complexe getallen 'w' en 'z' wordt gegeven door \Re(w\overline{z}); dan valt voor een complex getal 'z' zijn absolute waarde |'z'| samen met haar Euclidische norm, en haar argument arg(z) met de hoek draaiend van 1 tot 'z'.

De theorie van de contourintegratie is een belangrijk onderdeel van de complexe analyse. In dit verband is de richting waarin men een gesloten kromme doorloopt van belang; het omkeren van de richting waarin de kromme wordt doorlopen vermenigvuldigt de waarde van de integraal met -1. Volgens afspraak is de positieve draairichting tegen de klok in. De eenheidscirkel wordt in positieve richting doorlopen wanneer we vanaf punt z = 1 starten, dan reizen wij omhoog en naar links door het punt z = i, dan naar beneden en naar links door het punt -1, dan naar beneden en naar rechts door het punt -i, en uiteindelijk omhoog en naar rechts om weer terug te keren in het punt z = 1, waar wij ook zijn begonnen.

Bijna de gehele complexe analyse betreft complexe functies - dat wil zeggen met functies die een deelverzameling van het complexe vlak afbeelden op een andere (mogelijk overlappende of zelfs identieke) deelverzameling van het complexe vlak. Het is hier gebruikelijk te spreken over het domein van f(z) als liggend in het z-vlak, onder verwijzing naar het bereik of het beeld van f(z) als een verzameling van punten in het w-vlak. In symbolen schrijven wij

z = x + iy;\qquad f(z) = w = u + iv \,

en vaak denken wij aan de functie f als een transformatie van het z-vlak (met coördinaten (x, y)) in en op het w-vlak (met coördinaten (u, v)).

Voetnoten[bewerken]

  1. Het kan worden aangetoond (Whittaker & Watson, 1927, Appendix), dat alle bekende eigenschappen van de complexe exponentiële functie, de goniometrische functies, en de complexe logaritme rechtstreeks kunnen worden gededuceerd uit het machtreeksen voor ez. Met name kan de hoofdwaarde van logr, waar |r| = 1, worden berekend zonder verwijzing naar een meetkundige of goniometrische constructie.
  2. Whittaker & Watson, 1927, blz. 10)