Kromme

Enkele wiskundige krommen: een hypocycloïde (blauw), een epicycloïde (groen) en een cardioïde (rood)

Een kromme of curve is een begrip uit de wiskunde, onder andere de meetkunde, waarmee in het algemeen een niet-rechte lijn wordt aangeduid, hoewel een rechte in principe ook een kromme is. Een kromme in twee dimensies wordt ook vlakke kromme genoemd, een kromme in drie dimensies is een ruimtekromme.
Een voorbeeld van een kromme is (een continu deel van) de grafiek van een functie; meestal vormen deze geen rechte lijn.

Parametrisering

Zie Parametervergelijking voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Heel algemeen kan een kromme in het platte vlak gegeven worden door de coördinaatfuncties x(t) en y(t), waarbij de parameter t een bepaalde verzameling waarden, meestal een interval, doorloopt. Bij een ruimtekromme komt er nog een z(t) bij, enz.

Wanneer t de tijd voorstelt dan vormen deze functies samen een plaatstijdfunctie van een beweging langs de kromme.

Voorbeeld

De eenheidscirkel wordt gegeven door:

$x(t)=\cos(t)\,$

$y(t)=\sin(t)\,$

voor

$t\in [0,2\pi]\,$.

Booglengte

Zie booglengte voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Voor een klein stukje ∆s kan de booglengte met de stelling van Pythagoras benaderd worden

De lengte van delen van de kromme, dus gemeten langs de kromme, kan gevonden worden door een klein stukje ds van de kromme te integreren. Er geldt na het nemen van de limiet van Δ s → 0 (Stelling van Pythagoras):

$ds^2=dx^2+ dy^2\,$,

zodat:

$s(t_0)=\int_0^{t_0}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\,$,

mits natuurlijk de afgeleiden bestaan.

Voorbeeld (vervolg)

De booglengte van de eenheidscirkel is:

$s(t_0)=\int_0^{t_0}\sqrt{\left(-\sin(t)\right)^2+\left(\cos(t)\right)^2}dt=t_0\,$,

Zo is bijvoorbeeld de omtrek gelijk aan:

$s(2\pi)=2\pi\,$.

Raaklijn

Zie raaklijn voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De raaklijn aan een kromme in een punt (x(t),y(t)) van de kromme gaat door dat punt en heeft dezelfde helling als de kromme, dus:

$\frac{y-y(t)}{x-x(t)} = \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt} \,$

Voorbeeld (vervolg)

De raaklijnen aan de eenheidscirkel worden gegeven door:

$\frac{y-y(t)}{x-x(t)} = -\cot(t) \,$

Zo is bijvoorbeeld de raaklijn in het punt (1,1):

$\frac{y-1}{x-1} = -\cot(\frac 14 \pi)= -1 \,$

anders geschreven:

$y = 2-x \,$

Kromming

De kromming in een punt (x,y) van de kromme kan worden beschreven door de kromtestraal ρ, gedefinieerd door:

$\rho = \frac {\left({x'}^2+{y'}^2 \right)^{\frac 32}}{\left| y''x'-y'x'' \right|}$.

Omdat de kromming groter is bij kleinere kromtestraal, wordt de kromming ook wel beschreven door de krommingsparameter κ, die het omgekeerde is van de kromtestraal:

$\kappa = \frac 1\rho$

Zie ook

• Pad (topologie)
• Ruimtekromme

Mediabestanden

Zie de categorie Curves van Wikimedia Commons voor meer mediabestanden.