Kromme

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Zie het artikel Dit artikel gaat over het wiskundige begrip kromme. Voor de voetballer met de bijnaam "De Kromme", zie Willem van Hanegem.
Enkele wiskundige krommen: een hypocycloïde (blauw), een epicycloïde (groen) en een cardioïde (rood)

Met kromme of curve, een begrip uit de wiskunde, onder andere de meetkunde, wordt een in het algemeen niet-rechte "lijn" aangeduid[1], maar met een rechte als bijzonder geval. Een kromme in twee dimensies wordt ook vlakke kromme genoemd, een kromme in drie dimensies is een ruimtekromme.

Een voorbeeld van een kromme is de grafiek van een continue functie.

Parametrisering[bewerken]

Afhankelijk van de context wordt een kromme meestal gedefinieerd als een continue afbeelding op een reëel interval (in de ruime zin van het woord, eventueel de hele \mathbb{R}), of het beeld onder zo'n afbeelding. Een kromme kan dan ook gegeven worden door een parametervergelijking met één reële parameter. Om de afbeelding te onderscheiden van het beeld wordt de afbeelding aangeduid als geparametriseerde kromme. Een tussenvorm tussen een kromme als verzameling punten en een kromme als afbeelding is een georiënteerde kromme. Twee parametriseringen bepalen dezelfde georiënteerde kromme als de ene parameter een strikt stijgende functie van de andere is. Het gaat dan dus wel om de volgorde waarin de punten van het beeld doorlopen worden, maar niet om hoe "snel" dat gebeurt.[2]

Bij een ruimtevullende kromme gaat het niet om het beeld op zich (dat is niet eens herkenbaar als kromme), maar juist om de parametrisering (althans de volgorde waarin de punten van het beeld doorlopen worden).

Als een kromme een begin- en/of eindpunt heeft, kan dat wel of niet tot de kromme behoren. Bij een kromme als verzameling komt dit neer op een ophopingspunt aan het ene en/of het andere uiteinde. Toevoeging van deze eventuele punten (en eventuele andere ophopingspunten) komt neer op het nemen van de afsluiting van de verzameling. Bij een geparametriseerde kromme komen het begin- en/of eindpunt neer op de eventuele limieten naar onder en boven. Bij toevoeging van zo'n limiet bij een begrensd open uiteinde van het domein komt dit neer op het gesloten maken van dit uiteinde. Een onbegrensd einde van het domein kan door een andere parametrisatie, met behoud van de oriëntatie, begrensd gemaakt worden. Zo kan bijvoorbeeld bij een logaritmische spiraal de oorsprong wel of niet tot de kromme gerekend worden.

Een kromme kan aan een zijde waar het domein open is (begrensd of onbegrensd), begrensd of onbegrensd zijn.

Een pad is een continue afbeelding met als domein het eenheidsinterval [0,1]. Het beeld is dan compact; in de Euclidische ruimte Rn wil dit zeggen gesloten en begrensd. Een lus is een pad waarvan het begin- en eindpunt samenvallen. Het beeld heet een gesloten kromme[3], overeenkomend met het topologische begrip vrije lus. Bij een kringintegraal zijn weliswaar de parametrisatie en het begin-/eindpunt niet van belang voor de definitie, maar wel de richting waarin de kromme wordt doorlopen.

Een vlakke kromme kan gedefiniëerd worden door continue coördinaatfuncties x(t) en y(t), waarbij de parameter t een interval doorloopt. Bij een ruimtekromme komt er nog een functie z(t) bij, enz. Als t de tijd voorstelt, definiëren deze functies samen een plaatstijdfunctie van een beweging langs de kromme.

Voorbeeld[bewerken]

De eenheidscirkel wordt gegeven door:

x(t)=\cos(t)
y(t)=\sin(t)

voor

t\in [0,2\pi].

Booglengte[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie booglengte voor het hoofdartikel over dit onderwerp.
Voor een klein stukje ∆s kan de booglengte met de stelling van Pythagoras benaderd worden

De lengte van delen van de kromme, dus gemeten langs de kromme, kan gevonden worden door een klein stukje ds van de kromme te integreren. Er geldt na het nemen van de limiet van Δ s → 0 (stelling van Pythagoras):

ds^2=dx^2+ dy^2\,,

zodat:

s(t_0)=\int_0^{t_0}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\,,

mits natuurlijk de afgeleiden bestaan.

Voorbeeld (vervolg)[bewerken]

De booglengte van de eenheidscirkel is:

s(t_0)=\int_0^{t_0}\sqrt{\left(-\sin(t)\right)^2+\left(\cos(t)\right)^2}dt=t_0\,,

Zo is bijvoorbeeld de omtrek gelijk aan:

s(2\pi)=2\pi\,.

Raaklijn[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie raaklijn voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De raaklijn aan een kromme in een punt (x(t),y(t)) van de kromme gaat door dat punt en heeft dezelfde helling als de kromme, dus:

\frac{y-y(t)}{x-x(t)} = \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt} \,

Voorbeeld (vervolg)[bewerken]

De raaklijnen aan de eenheidscirkel worden gegeven door:

\frac{y-y(t)}{x-x(t)} = -\cot(t) \,

Zo is bijvoorbeeld de raaklijn in het punt (1,1):

\frac{y-1}{x-1} = -\cot(\frac 14 \pi)= -1 \,

anders geschreven:

y = 2-x \,

Kromming[bewerken]

De kromming in een punt (x,y) van de kromme kan worden beschreven door de kromtestraal ρ, gedefinieerd door:

\rho = \frac {\left({x'}^2+{y'}^2 \right)^{\frac 32}}{\left| y''x'-y'x'' \right|}.

Omdat de kromming groter is bij kleinere kromtestraal, wordt de kromming ook wel beschreven door de krommingsparameter κ, die het omgekeerde is van de kromtestraal:

\kappa = \frac 1\rho

Hausdorff-dimensie en oppervlakte[bewerken]

Als de parametervergelijking van een kromme constant is is het beeld maar één punt, en is de Hausdorff-dimensie daarvan dus 0. De Hausdorff-dimensie van (het beeld van) een kromme is in de overige gevallen tenminste, en in de praktijk meestal, 1. De Koch-kromme heeft Hausdorff-dimensie

\frac {\log(4)}{\log(3)} \approx 1{,}26

en varianten hebben allerlei andere waarden. De Hausdorff-dimensie van een ruimtevullende kromme is 2 of meer.

De oppervlakte van een vlakke kromme kan, gezien de ruimtevullende kromme, groter dan nul zijn.

Bronnen, noten en/of referenties
  1. Tussen aanhalingstekens omdat in de wiskunde de term lijn wordt gebruikt voor een rechte.
  2. http://homepages.vub.ac.be/~jvpoucke/WGAM%20theorie_oef.pdf
  3. Niet te verwarren met de zwakkere eigenschap dat een kromme een gesloten verzameling is.