Raaklijn

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De zwarte lijnen vormen een benadering van de blauwe raaklijn

De raaklijn, tangens of tangent aan een kromme in een punt van de kromme is in de meetkunde de rechte lijn door dat punt met dezelfde richting als de kromme. Het punt waarin de raaklijn de kromme raakt, heet raakpunt. De raaklijn is de benadering van de kromme in het raakpunt door een rechte lijn. De raaklijn kan de kromme eventueel nog snijden in een ander punt dan het raakpunt.

De raaklijn (L) in een punt P van de kromme kan gezien worden als het limietgeval van de lijn door P en een ander punt Q van de kromme als het punt Q het raakpunt P nadert. Daaruit ziet men ook dat niet in elk punt van een willekeurige kromme een raaklijn bestaat. De kromme zal aan bepaalde eisen van differentieerbaarheid moeten voldoen.

Specifiek geval in 2 dimensies (2D)[bewerken]

Heel algemeen wordt een vlakke kromme gegeven door de coördinaatfuncties x(t) en y(t), waarbij de parameter t een bepaalde verzameling waarden, meestal een interval, doorloopt. De raaklijn aan die kromme in een punt (x_0,y_0)=(x(t_0),y(t_0)) van de kromme gaat door dat punt en heeft dezelfde helling als de kromme. De vergelijking van de raaklijn wordt het eenvoudigst voorgesteld door:

y_R(x)-y_0=b(x-x_0).

In het betrokken punt is de helling:

b =\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|_{t=t_0} =\frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}

mits de afgeleiden bestaan.

Is de kromme de grafiek van de functie y(x), dan wordt de raaklijn in het punt (x_0,y_0) gegeven door:

y_R(x)-y_0=b(x-x_0)=y'(x_0)(x-x_0).

Voorbeeld 1[bewerken]

Een ellips is gegeven door de coördinaatfuncties

x(t) = 3 \sin(t); y(t) = 2 \cos(t), t \in [0,2\pi).

De vergelijking van de raaklijn in een punt (x(t_0),y(t_0)) aan de ellips is dus:

y_R(x)=y(t_0)+b(x-x(t_0))=2\cos(t_0)+b\left(x-3\,\sin(t_0)\right).

Daarin is:

 b=\frac{y'(t_0)}{x'(t_0)} =-\tfrac 23 \tan(t_0)

Voorbeeld 2[bewerken]

De raaklijnen aan de parabool y=x^2 zijn:

y-y_0 =2x_0(x-x_0)\,

Zo is bijvoorbeeld de raaklijn in het punt (1,1) de lijn:

y = 2x-1.

Afbeelding[bewerken]

Algemeen geval in drie dimensies[bewerken]

Een kromme in drie dimensies wordt ruimtekromme genoemd, heel algemeen voorgesteld door de parametervoorstelling met de drie coördinaatfuncties x(t),y(t) en z(t).

Als de ruimtekromme differentieerbaar is in het punt (x_0,y_0,z_0)=(x(t_0),y(t_0),z(t_0)), kan de raaklijn in dat punt bepaald worden met behulp van de afgeleide van de ruimtekromme in dat punt:

(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))

De raaklijn wordt dan beschreven door de functies

X(s)=x_0+x'(t_0)\cdot s
Y(s)=y_0+y'(t_0)\cdot s
Z(s)=z_0+z'(t_0)\cdot s