Gradiënt (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskundige analyse geeft de gradiënt van een functie van meer veranderlijken, een scalair veld, de richting aan waarin die functie het sterkst varieert, en de grootte van de variatie. De gradiënt, die in gewone cartesische coördinaten de vector is van partiële afgeleiden, is de veralgemening van het begrip afgeleide in meer dimensies.

Definitie[bewerken]

Onder de gradiënt, grad f, van een reële functie f van n reële veranderlijken x_1, x_2,\cdots, x_n in een punt a van \mathbb{R}^n, verstaat men de vector met als componenten de partiële afgeleiden van f in a, dus:

\mathrm{grad}\ f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2},\cdots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right).

Vaak noteert men de gradiënt met behulp van de formele operator nabla:

\mathrm{grad}\ f = \nabla f.

Als deze partiële afgeleiden in (een open deelverzameling van) \mathbb{R}^n bestaan, bepaalt de gradiënt van f een vectorveld.

Formeel is de gradiënt hetzelfde als de meerdimensionale afgeleide van f, zie differentieerbaarheid.

Voorbeeld[bewerken]

Voor de driedimensionale functie f : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} is dus:

\mathrm{grad} f = \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right).

Stel dat f wordt gegeven door:

f(x,y,z) = x^6-y-xz.\,.

Dan wordt de gradiënt van f gegeven door:

\nabla f = \left(6x^5-z, -1, -x \right),

wat een vectorveld in drie dimensies voorstelt.

Sterkste variatie[bewerken]

Met elke (georiënteerde) richting van \mathbb{R}^n komt een richtingsafgeleide van f in a overeen. Als f differentieerbaar is in a, dan bepalen de richting en oriëntatie van de gradiënt de maximale waarde van deze richtingsafgeleiden.

Gekromde ruimten[bewerken]

Op een algemene gladde variëteit noteert men df voor de eenvorm (covectorveld) waarvan de componenten ten opzichte van een gegeven coördinatenstelsel, de partiële afgeleiden zijn van f in dat coördinatenstelsel.

Op een Riemann-variëteit levert de metrische tensor g een eenduidig verband tussen covectoren en vectoren, zodat de gradiënt daar opnieuw als een vectorveld kan worden opgevat:

g(\nabla f,v)=(df)(v)=\sum_i{\partial f\over\partial x^i}v^i