Differentieerbaarheid

Een differentieerbare functie

Binnen de tegenwoordige wiskunde is differentieerbaarheid een van de grondbegrippen, met name binnen de analyse. Ruwweg noemt men een functie differentieerbaar als ze een afgeleide heeft. De term afleidbaar is een synoniem. Een van de grondleggers van dit begrip, dat ook veel wordt toegepast in de natuurkunde, is Isaac Newton.

Differentieerbaar in een punt

Een functie f met als domein D noemen we differentieerbaar in $x \in D$ als geldt dat de volgende limiet bestaat:

$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

Deze limiet wordt ook de afgeleide waarde van f in x genoemd.

Meestal zal $D$ een deelverzameling van de reële getallen $\mathbb{R}$ zijn. Het quotiënt en de limiet blijven echter hun betekenis houden in (delen van) de complexe getallen $\mathbb{C}$; we spreken dan van complex differentieerbaar.

Als $f$ differentieerbaar is in $x$, dan is $f$ automatisch ook continu in $x$.

Differentieerbare functie

Een functie f die differentieerbaar is in elk punt $x \in D$ is een differentieerbare functie.

Een functie die complex differentieerbaar is in een open verzameling $D\subset\mathbb{C}$ heet ook wel (complex) analytisch of holomorf. Complex differentieerbare functies zijn het centrale studieobject van de complexe analyse.

Voorbeelden

De functie f: $x \to |x|$ met domein $\R$ is niet differentieerbaar, want de afgeleide in x = 0 bestaat niet.

De functie g: $x \to x^{2}$ met domein $\R$ is wel differentieerbaar. De afgeleide functie van g is g' : $x \to 2x$

Meer dan één veranderlijke

Het begrip differentieerbaarheid kan worden veralgemeend tot functies van meer dan één veranderlijke

$f:D\subset\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$

Meer dan één veranderlijke in de doelverzameling

De uitbreiding voor $n>1$ (vectorwaardige functies) is niet zo moeilijk, omdat de limiet uit bovenstaande definitie ook nog gedefinieerd is voor vectoren in $\mathbb{R}^n$. De functie $f$ kan geschreven worden in termen van componentfuncties

$f(x)=\left(f_1(x),\ldots,f_n(x)\right)$

en $f$ is differentieerbaar als en slechts als alle $f_i$ afzonderlijk differentieerbaar zijn.

Meer dan één veranderlijke in het domein

De uitbreiding voor m>1 ligt minder voor de hand, omdat we niet zonder meer door een vector $\Delta x$ kunnen delen.

Een gedeeltelijke uitbreiding levert het begrip partiële differentieerbaarheid. We zeggen dat f in x partieel differentieerbaar is naar de i-de veranderlijke als de partiële functie

$g_i:t\mapsto f(x_1,\ldots,x_{i-1},t,x_{i+1}\ldots,x_m)$

gewoon differentieerbaar is in $t$. De gewone afgeleide van deze functie van één veranderlijke t noemt men partiële afgeleide (van f naar de i-de veranderlijke), genoteerd

${\partial f\over\partial x_i}(x_1,\ldots,x_{i-1},t,x_{i+1}\ldots,x_m)=g'_i(t)$

Het bestaan van partiële afgeleiden in alle $m$ veranderlijken tegelijk is een zwakke eigenschap, en is bijvoorbeeld nog niet voldoende om continuïteit te garanderen. Daarom wordt meestal de volgende, engere definitie gehanteerd.

We zeggen dat f (totaal) differentieerbaar is in een punt $x\in\mathbb{R}^m$ als er een lineaire afbeelding

$A:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$

bestaat met de eigenschap

$\lim_{\left\|\Delta x\right\|\to 0}\frac{\left\|f(x+\Delta x)-f(x)-A(\Delta x)\right\|}{\left\|\Delta x\right\|}=0.$

Hierbij is de functie $\left\| \cdot \right\| : \mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ de bekende Euclidische norm. Verder is $\Delta x$ een vector in $\mathbb{R}^m$, waarvan in de limiet de norm willekeurig klein gemaakt wordt.

De lineaire afbeelding A heet de (totale) afgeleide van f in de vector x. In het geval m=1 is de lineaire afbeelding: vermenigvuldiging met de constante "afgeleide van f in x" , en vallen we terug in de klassieke definitie.

Als f op deze manier afleidbaar is in x, dan is ze ook continu in x én partieel differentieerbaar in alle m veranderlijken afzonderlijk. De matrix van de lineaire afbeelding A bestaat uit alle verschillende partiële afgeleiden van f in x:

$A_i^j={\partial f_i\over\partial x_j}(x) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, j = 1, ..., m; \, \, i = 1, ..., n$