Lineaire afbeelding

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is een lineaire afbeelding ruwweg een afbeelding die de lineaire combinaties bewaart. Deze afbeeldingen vertonen interessante eigenschappen en ze spelen een belangrijke rol in de lineaire algebra van vectorruimten of modulen.

Definities[bewerken]

Een afbeelding f : V \to W, waarbij V en W vectorruimten over een lichaam (Ned. term; in België: veld) K zijn, noemen we lineair als voor elk paar x en y uit V, en elk element \lambda uit K:

f(x+y)=f(x)+f(y) \quad{}
f( \lambda x)= \lambda f(x) \quad{}

Men zou dit informeel kunnen verwoorden als volgt: "Het beeld van de som is de som van de beelden." en "Het beeld van het product van een scalair met een vector is het product van de scalair met het beeld van die vector."

Zolang we niet uitdrukkelijk gebruikmaken van de omkeerbaarheid van scalairen, gaat bovenstaande definitie naadloos over naar algemenere lineaire afbeeldingen tussen modulen over een commutatieve ring. De theorie blijft een tijdlang analoog, behalve dat niet ieder moduul een basis heeft (nodig voor onder meer de dimensiestelling).

Bij een niet-commutatieve ring kan men eventueel spreken van een links-lineaire afbeelding tussen linkermodulen.

Combineren van lineaire afbeeldingen[bewerken]

Zoals gezegd, komen lineaire afbeeldingen typisch voor bij vectorruimten. Bovendien zal de verzameling van alle lineaire afbeeldingen van een vaste vectorruimte V naar een vaste vectorruimte W ook een vectorruimte zijn met een geschikte optelling, en vermenigvuldiging met een scalair:

Zij f en g twee lineaire afbeeldingen tussen de K-vectorruimten V en W. Dan definiëren we de som f + g van f en g, als de lineaire afbeelding die aan elk element uit V, de som van de beelden onder f en g toevoegt:

f+g : V \to W : x \mapsto f(x) + g(x)

Analoog definiëren we voor een willekeurig element \lambda uit K,

\lambda f : V \to W : x \mapsto \lambda f(x)

Beschouw anderzijds de lineaire afbeeldingen f : V \to W en g : W \to U. Dan is ook de samenstelling een lineaire afbeelding

g \circ f : V \to U : x \mapsto g(f(x))

Het is duidelijk dat deze nieuwverkregen afbeeldingen inderdaad lineair zijn.

Uit deze eigenschappen volgt dan ook dat Lin(V,W)= {L:VW|L lineair} opnieuw een K-vectorruimte is, aangezien het een deelruimte is van de K-vectorruimte VW van de functies van V naar W.

Nulruimte en beeldruimte[bewerken]

De nulruimte Nf of kern van een lineaire afbeelding f is de verzameling van alle vectoren die door f op de nulvector worden afgebeeld. Het beeld van het domein van f, het bereik, heet ook de beeldruimte Bf van f. Zowel de nulruimte als de beeldruimte van een lineaire afbeelding is weer een lineaire ruimte.

Voorbeelden[bewerken]

Voorbeeld 1[bewerken]

De identieke afbeelding is lineair. De projectie op een vector is lineair. Lineaire afbeeldingen over eindigdimensionale vectorruimten kunnen door een matrix worden voorgesteld, en omgekeerd kan men met elke eindigdimensionale matrix een lineaire afbeelding associëren.

Voorbeeld 2[bewerken]

De afbeelding D : C^1 \to C^0 : f \mapsto f' die een differentieerbare functie afbeeldt op haar afgeleide, is een lineaire afbeelding. Hierbij zijn C^0, C^1 respectievelijk de verzamelingen van functies en van alle functies die minstens één keer differentieerbaar zijn.

Voorbeeld 3[bewerken]

De afbeelding f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 : (x,y) \mapsto (x+y,2x+3y) , is lineair. De bijbehorende matrix is:


\begin{bmatrix}
    1 & 1 \\
    2 & 3
\end{bmatrix}

Het eerste element van de beeldvector is gelijk aan het inwendig product van de argumentvector (x,y) met de bovenste rij van de matrix; het tweede element van de beeldvector is gelijk aan het inwendig product van de argumentvector (x,y) met de onderste rij van de matrix.

Voorbeeld 4[bewerken]

De afbeelding f:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}:(x,y)\mapsto 3x+6y is een lineaire afbeelding tussen twee modulen over de ring \mathbb{Z}. De kern van deze afbeelding is het \mathbb{Z}-moduul dat bestaat uit alle gehele getallenkoppels van de vorm (2z,-z). Het beeld is 3\mathbb{Z}, de verzameling van alle drievouden.

Algemener kan elke abelse groep worden opgevat als een \mathbb{Z}-moduul, en elk groepsisomorfisme tussen abelse groepen wordt een lineaire afbeelding.

Eigenschappen[bewerken]

Dimensiestelling[bewerken]

De dimensiestelling voor lineaire afbeeldingen luidt: Laat V en W eindigdimensionale vectorruimten zijn en f: V \to W een lineaire afbeelding van V in W. Dan is:

\dim(\mathrm{Ker}(f)) + \dim(\mathrm{Im}(f)) = \dim V\quad{},

waarbij Im(f) het beeld en Ker(f) de kern van f is.


Uit deze stelling volgt onmiddellijk de alternatieve stelling: Zij f:V \to W een lineaire afbeelding en dim V = dim W dan volgt hieruit f is injectief als en slechts als f is surjectief als en slechts als f is bijectief.

Hieruit volgt dan onmiddellijk f is injectief of surjectief, dan is f een isomorfisme. (uit de bijectiviteit en lineariteit van f).

verder f is injectief dan is Ker(f)=0 hieruit volgt dan onmiddellijk dim(V)=dim(W).

nog aan te vullen