Lineaire combinatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra is een lineaire combinatie w van eindig veel elementen u_1, u_2, \dots , u_n uit een vectorruimte V over een Lichaam (Ned) / veld (Be) K, een som van veelvouden van deze elementen. Meer precies heet w een lineaire combinatie van u_1, u_2, \dots , u_n als:

w = a_1 u_1 + a_2 u_2 + \dots + a_n  u_n  = \sum_{i=1}^{n} a_i u_i\qquad \quad \mathrm{met}\quad a_i \in K

Ook voor een willekeurige deelverzameling U\subset V heet w een lineaire combinatie van U als w een lineaire combinatie is van eindig veel elementen uit U.

De lineaire combinaties van de vectoren u_1, u_2, \dots , u_n vormen juist de lineaire deelruimte die door die vectoren wordt voortgebracht.

Voorbeelden en tegenvoorbeelden[bewerken]

Laat het lichaam K de verzameling \mathbb{R} van de reële getallen zijn en laat de vectorruimte V de Euclidische ruimte \mathbb{R}^3 zijn. Beschouw de vectoren

e_1= (1,0,0), e_2= (0,1,0) en e_3= (0,0,1).

Dan is elke vector in \mathbb{R}^3 een lineaire combinatie van e_1, e_2 en  e_3.

Neem om dit in te zien een willekeurige vector a= (1,2,3) \in \mathbb{R}^3, en schrijf:

a=(a_1, a_2, a_3) = (a_1,0,0) + (0,a_2,0) + (0,0,a_3) =  a_1 (1,0,0) + a_2 (0,1,0) + a_3 (0,0,1) =  a_1 e_1 +  a_2 e_2 +  a_3 e_3.

De vector e_3 is echter geen lineaire combinatie van e_1 en  e_2. Er zijn namelijk geen getallen a_1 en  a_2 waarvoor

e_3 = (0,0,1) =  a_1 e_1 +  a_2 e_2 = a_1 (1,0,0) + a_2 (0,1,0) =(a_1, a_2, 0)