Lineaire combinatie

In de lineaire algebra is een lineaire combinatie $w\,$ van eindig veel elementen $u_1, u_2, \dots , u_n$ uit een vectorruimte V over een lichaam K (in België: veld), een som van veelvouden van deze elementen. Meer precies heet $w\,$ een lineaire combinatie van $u_1, u_2, \dots , u_n$ als:

$w = a_1 u_1 + a_2 u_2 + \dots + a_n u_n \qquad \quad \mathrm{met}\quad a_i \in K$

Dit kan ook als volgt geschreven worden met de somnotatie:

$w = \sum_{i=1}^{n} a_i u_i$

De lineaire combinaties van de vectoren $u_1, u_2, \dots , u_n$ vormen juist de lineaire deelruimte die door die vectoren wordt voortgebracht.

Voorbeelden en tegenvoorbeelden

Vectoren

Laat het veld K de verzameling R van de reële getallen zijn en laat de vectorruimte V de Euclidische ruimte R³ zijn. Beschouw de vectoren e₁ = (1,0,0), e₂ = (0,1,0) en e₃ = (0,0,1).

Dan is elke vector in R³ een lineaire combinatie van e₁, e₂ en e₃.

Neem om dit in te zien een willekeurige vector (a₁,a₂,a₃) in R³ en schrijf:

$( a_1 , a_2 , a_3) = ( a_1 ,0,0) + (0, a_2 ,0) + (0,0, a_3) = a_1 (1,0,0) + a_2 (0,1,0) + a_3 (0,0,1) = a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3. \,$