Lineaire deelruimte

Een lineaire deelruimte is in de lineaire algebra een deelverzameling van een vectorruimte die, bij dezelfde optelling en scalaire vermenigvuldiging als in die ruimte zelf, ook een vectorruimte is.

De deelverzameling W van een vectorruimte van V is een lineaire deelruimte van V als de optelling en scalaire vermenigvuldiging van V inwendig zijn in W. Dit wordt verwoord in de volgende stelling.

Stelling

Voor iedere vectorruimte V over een lichaam (Ned) / veld (Be) K met optelling "+" en scalaire vermenigvuldiging "·" (genoteerd als $(K,V,+)$)is een deelverzameling W van V een lineaire deelruimte van V, dan en slechts dan als W niet leeg is en de beelden +(W×W) en · (K×W) deelverzamelingen van W zijn.

Bewijs

Het is duidelijk dat de voorwaarden noodzakelijk zijn. Vrijwel alle eisen voor een vectorruimte volgen triviaal uit de voorwaarden omdat V een vectorruimte is; voor ieder element van W is de scalaire vermenigvuldiging met −1 de inverse en is de vermeningvuldiging met 0 het neutrale element.

Gevolg

Een deelruimte kan dus nooit leeg zijn, want het bevat op zijn minst het neutraal element α waarvoor geldt dat x + α = x = α + x. Dit neutraal element α is tevens ook uniek.

Voorbeeld

Beschouw V de vectorruimte van alle polynomen en W de verzameling polynomen waarbij alle termen even machten hebben, beide met de triviale optelling en scalaire vermenigvuldiging. Dan is W een deelverzameling van V en wanneer je twee veeltermen met enkel termen met even machten optelt krijg je opnieuw een element van W. Hetzelfde geldt voor de scalaire vermenigvuldiging.