Neutraal element

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Neutraal element is een begrip uit de wiskunde, meer bepaald uit de abstracte algebra. Een neutraal element wordt ook wel eenheidselement genoemd. Een neutraal element in een magma (V,*), is een element eV met de eigenschap dat voor elke aV geldt:

a * e = a = e * a \,.

Daaraan zien we waarom van neutraal element wordt gesproken, want bij bewerking met een neutraal element verandert er niets, het element e gedraagt zich neutraal.

Men zou zich kunnen afvragen of het niet voldoende zou zijn slechts een van de gelijkheden te eisen. Door echter beide gelijkheden te eisen, is gegarandeerd dat ook als de bewerking * niet commutatief is, er slechts één neutraal element is. Stel namelijk dat e_1 en e_2 beide neutraal element zijn. Dan volgt direct:

e_2 * e_1 = e_2 \,

en

e_1= e_2 * e_1 \,,

dus

e_2 = e_2 * e_1 = e_1 \,.

Notatieconventie[bewerken]

Indien men een additieve notatie gebruikt, noteert men het neutraal element met 0.
Indien men een multiplicatieve notatie gebruikt, noteert men het neutraal element met 1.

Voorbeelden[bewerken]

4.27 + 0 = 4.27\mathfrak{}
6 \cdot 1 = 6
  • In de verzameling van de m x n matrices met de bewerking matrixoptelling is de m x n nulmatrix (geheel gevuld met nullen) het neutrale element.
\begin{bmatrix}4&-1&0\\2&1&5\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4&-1&0\\2&1&5\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}5&2\\3&-4\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5&2\\3&-4\end{bmatrix}

Zie ook[bewerken]