Eenheidsmatrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra is een eenheidsmatrix of identiteitsmatrix een vierkante matrix, waarvan de hoofddiagonaal uitsluitend uit enen bestaat en alle elementen die niet op de hoofddiagonaal liggen nul zijn. De eenheidsmatrix staat in de lineaire algebra gelijk aan de identiteitsfunctie. Een eenheidsmatrix wordt genoteerd met het symbool, I.

Definitie[bewerken]

Een eenheidsmatrix, genoteerd als I (van 'identity', identiteit), is een n×n-matrix waarvoor geldt:

I_{ii} = 1\, en I_{ij} = 0\, voor i \ne j

Een andere notatie hiervoor is I_{ij} = \delta_{ij}\!, de zogenaamde Kroneckerdelta.

Een eenheidsmatrix is dus een speciaal geval van een diagonaalmatrix en dus ook een symmetrische matrix.

Voorbeelden[bewerken]

Voorbeelden van eenheidsmatrices zijn achtereenvolgens de 1x1-, 2x2-, 3x3- en nxn-eenheidsmatrix:


I_1 = \begin{bmatrix}
1 \end{bmatrix}
,\  
I_2 = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{bmatrix}
,\ 
I_3 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
,\ \cdots ,\ 
I_n = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}

Basiseigenschappen[bewerken]

Voor elke identiteitsmatrix I gelden de volgende elementaire eigenschappen:

  • AI = IA = A\,
  • I^2 = I\,
  • I^{-1} = I\,
  • I^{T} = I\,
  •  A^{-1}A = I\,