Magma (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Algebraïsche
structuren

Magma
Halfgroep
Monoïde
Groep
Ring / Ideaal
Lichaam/Veld

Moduul
Vectorruimte
Algebra

Categorie
Tralie
Boole-algebra

In de abstracte algebra is een magma (ook groepoïde genoemd, niet te verwarren met groepoïde in de categorietheorie) een basale algebraïsche structuur. Specifiek bestaat een magma uit een niet-lege verzameling die is uitgerust met een enkele binaire operatie, *: M × MM, waaraan geen verdere eisen worden gesteld. De enige structuur in M is dus de binaire operatie *, die aan twee elementen a en b in M het element a*b in M toevoegt. Magma's als zodanig worden niet (veel) bestudeerd, maar gelden vanwege de aanwezige bewerking, als basisstructuren voor rijkere structuren in de abstracte algebra. De term magma werd geïntroduceerd door Bourbaki.

Een magma noteert men als het paar (M,*), waarin M de verzameling is en * de binaire bewerking.

Het aantal elementen van een magma wordt de orde van de magma genoemd en genoteerd als |M| of \#M.

Eindige magma's kan men volledig voorstellen in een zogenaamde Cayley-tabel, die de resultaten van de bewerking opsomt.

Types magmas[bewerken]

Magma's worden niet vaak als zodanig bestudeerd; er zijn verschillende soorten magma's, afhankelijk van welke axioma's men oplegt aan de operaties. Vaak bestudeerde soorten magma's zijn

Enkele voorbeelden[bewerken]

  • De natuurlijke getallen met de optelling, genoteerd als (\mathbb{N}, +), is een magma.
  • De gehele getallen met de aftrekking, genoteerd als (\mathbb{Z}, -), is een magma.
  • De natuurlijke getallen met de aftrekking, genoteerd als (\mathbb{N}, -) is géén magma, want bv. voor a = 4, b = 8 gaat de eigenschap van overal gedefinieerd niet op (4 - 8 < 0).

Morfisme van magma's[bewerken]

Een morfisme van magma's is een functie f:M\to N die magma M afbeeldt op magma N en die de binaire operatie:

f(x *_{{}_M} y) = f(x) *_{{}_N} f(y)

in stand houdt, waar *_{{}_M} en *_{{}_N} de binaire operaties op respectievelijk M en N aanduiden.

Vrij magma[bewerken]

Voor elke niet-lege verzameling X kan men het vrije magma over X definiëren als het "meest algemene" magma dat door X wordt voortgebracht. Het kan beschreven worden als het magma van alle eindige bomen met de bladeren in X. De compositie a*b van twee bomen a en b is de boom waarvan de wortel a als linker onderboom en b als rechter onderboom heeft. Men kan elk element van het vrije magma noteren als uitdrukking in de elementen van X en haakjes. Zo bevat bijvoorbeeld voor X = {a,b,c} het vrije magma over X onder meer de elementen:

a, b, c, ab, ba, (ab)c, a(bc), (aa)(bb), (a(ab))b, (ab)(ab), enz.