Abelse groep

Een abelse groep, ook wel commutatieve groep genoemd, is een groep die voldoet aan de additionele eis dat het product van de elementen niet afhangt van de volgorde waarin de groepsbewerkingen worden uitgevoerd (het axioma van commutativiteit). Abelse groepen zijn genoemd naar de Noorse wiskundige Niels Henrik Abel. Abelse groepen veralgemenen de rekenkunde van de optelling van de gehele getallen.

Het concept van een Abelse groep is een van de eerste concepten dat men tegenkomt in de abstracte algebra. Modules en vectorruimtes kunnen als verfijningen van abelse groepen worden gezien. De theorie van de abelse groepen is in het algemeen eenvoudiger dan die van de niet-abelse groepen. Eindige abelse groepen worden goed begrepen. De theorie van de oneindige abelse groepen is echter een gebied waar ook nu nog veel onderzoek naar wordt verricht.

Definitie

Aan deze eigenschappen moet voldaan zijn wil een groep abels zijn:

1. Associativiteit ($a(bc)=(ab)c$ voor alle $a,b,c$ in de groep)
2. Bestaan eenheidselement (er is een $e$ in de groep zodat $ae=ea=a$ voor alle $a$ in de groep)
3. Bestaan inverse elementen (voor alle $a$ in de groep is er een element $x$ in de groep zodat $ax=xa=e$)
4. Commutativiteit ($ab=ba$ voor alle $a,b$ in de groep)

Een groep voldoet aan eigenschap 1,2 en 3. Eigenschap 4 maakt van een groep een abelse groep.

Voorbeelden

Abelse groepen

Zelfs in de meest elementaire wiskunde zijn er veel voorbeelden van abelse groepen terug te vinden. Beschouw bijvoorbeeld de volgende groepen:

• De additieve groep van de gehele getallen, $(\mathbb{Z},+)$, is abels. Hetzelfde geldt voor de groepen $(\mathbb{Q},+)$, $(\mathbb{R},+)$, $(\mathbb{C},+)$. In het algemeen is $(V,+)$ een abelse groep indien V een veld of lichaam een vectorruimte of een ring is.

• De multiplicatieve groep $(\mathbb{Q}_0,*)$ van de rationale getallen zonder nul, is abels. Hetzelfde geldt voor de groepen $(\mathbb{R}_0,*)$, $(\mathbb{C}_0,*)$ en meer algemeen voor $(V_0,*)$ als V een lichaam/veld is. In dit laatste geval spreken we van de eenhedengroep van het lichaam/veld V.

• De eindige groepen $(\mathbb{Z}_n,+)$ zijn abels.

Niet-abelse groepen

De volgende groepen zijn niet abels:

• De permutatiegroep op drie elementen is een groep die uit zes elementen bestaat. Deze groep is niet abels. Algemener, zijn de permutatiegroepen op minstens drie elementen niet abels.

• De verzameling van alle inverteerbare $n \times n$-matrices, voorzien van de matrixvermenigvuldiging is een groep met als neutraal element de eenheidsmatrix. Deze groep is niet abels indien $n$ minstens twee is: de enige elementen die met alle andere elementen commuteren, zijn de herschalingen van de eenheidsmatrix.

• De groep van de Euclidische transformaties van het vlak, is niet abels: in het algemeen commuteren bijvoorbeeld de translaties (verschuivingen) niet met de rotaties (draaiingen). Merk hierbij op dat de groep van de rotaties en de groep van de translaties wel abels zijn.

Bijzondere eigenschappen van abelse groepen

Door te vertrekken van abelse groepen kunnen er nieuwe abelse groepen worden geconstrueerd. Dan hebben we de volgende eigenschappen:

• Alle deelgroepen van een abelse groep zijn zelf ook abels.

• Alle deelgroepen van een abelse groep zijn normale deelgroepen.

• Alle quotiënten van een abelse groep (door een normale deelgroep, maar elke deelgroep is normaal) zijn zelf ook weer abels. In het bijzonder is het homomorfe beeld van een abelse groep zelf ook weer abels.

• De directe som van abelse groepen is zelf ook weer abels.

Abelse groepen met bijzondere eigenschappen

De cyclische groepen

De abelse groepen die door een enkel element worden voortgebracht, zijn de cyclische groepen. De enige voorbeelden van cyclische groepen zijn:

• De oneindige cyclische groep $(\mathbb{Z},+)$. Op isomorfisme na, is dit de enige oneindige cyclische groep.

• De quotiënten van $(\mathbb{Z},+)$, namelijk de groepen $(\mathbb{Z}_n,+)$. Op isomorfisme na, is $(\mathbb{Z}_n,+)$ de enige cyclische groep van orde n.

Deze groepen sommen dus alle cyclische groepen op. Merk op dat de directe som van twee cyclische groepen cyclisch kán maar niet hoéft te zijn. Zo is de som van $(\mathbb{Z}_2,+)$ en $(\mathbb{Z}_3,+)$ een cyclische groep van orde 6, terwijl de som van $(\mathbb{Z}_2,+)$ met $(\mathbb{Z}_2,+)$ de abelse, niet-cyclische Viergroep van Klein is.

De eindig voortgebrachte abelse groepen

Een algemenere klasse van abelse groepen is die van de eindig voortgebrachte abelse groepen (e.v. abelse groepen), de abelse groepen die door eindig veel elementen (de generatoren) worden voortgebracht.

• De cyclische groepen zijn de e.v. groepen die door een enkel element kunnen worden voortgebracht.

• De Viergroep van Klein is een e.v. groep die kan worden voortgebracht door twee elementen, maar niet door minder.

• De groepen $(\mathbb{Q},+)$, $(\mathbb{R},+)$ en $(\mathbb{C},+)$ zijn echter niet eindig voortgebracht.

De hoofdstelling van de e.v. abelse groepen karakteriseert alle e.v. abelse groepen:

• • Stelling: De eindig voortgebrachte abelse groepen zijn de directe sommen van de cyclische groepen.

Net zoals in het geval van de cyclische groepen zijn er dus aftelbaar veel e.v. abelse groepen, zijn ze alle gekend en hebben ze een relatief eenvoudige structuur.

Zie ook

• Groepen en groepentheorie voor een algemenere theorie.
• De mate waarin een gegeven groep niet abels is, wordt heel precies weergegeven door de commutatordeelgroep.
• Nilpotente en oplosbare groepen, natuurlijke veralgemeningen van groepen met een commutatieve groepsbewerking. In de theorie van de Lie-algebra's spelen de abelse, nilpotente en oplosbare Lie algebra's een analoge rol.
• De hoofdstelling van eindig voortgebrachte modulen over hoofdideaaldomeinen.