Vector (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een vector (Latijn: drager) is in de wiskunde een element van een vectorruimte, en daarmee een weinig specifiek begrip. Vectorruimten zijn echter generalisaties van onze gewone driedimensionale ruimte, waarin punten voorgesteld worden door hun drie coördinaten x, y en z. Zulke punten, opgevat als pijlen van de oorsprong tot het punt (x,y,z), waren de eerste die vector genoemd werden, een term ingevoerd door William Rowan Hamilton in 1837. Zo'n pijl stelt in de meetkunde en de natuurkunde een grootheid voor die zowel grootte als richting heeft (en eventueel een zin afhankelijk van de gehanteerde definitie), zoals verplaatsing, snelheid, versnelling, kracht, e.d.

Soms spreekt men ook over "gebonden vectoren". Een gebonden vector heeft niet enkel een grootte en een richting, maar ook een aangrijpingspunt. Het aangrijpingspunt is het punt waarin de vector "vertrekt". Vectoren zonder aangrijpingspunt worden in dit verband "vrije vectoren" genoemd. Gebonden vectoren vormen eigenlijk een vectorveld, een afbeelding van een ruimte in een vectorruimte. Aan elk punt van de betrokken ruimte (het aangrijpingspunt) wordt een vector toegevoegd. Deze vector is dus gebonden aan z'n aangrijpingspunt.

Voorstelling van een vector[bewerken]

Om vectoren te onderscheiden van scalaire grootheden, noteert men vectoren wel met een vetgedrukte letter, bijvoorbeeld a of als letter met een pijltje erboven, zoals \vec{a}. Dit is echter slechts een kwestie van notatie en heeft op zichzelf geen enkele betekenis. In deze notatieconventie wordt de grootte van de vector (|a| of |\vec{a}|) dan aangegeven door een gewone a.

Men tekent een vector als een pijl, beginnend in z'n aangrijpingspunt (bij vrije vectoren plaatst men het beginpunt veelal in de oorsprong).

een pijltje dat loopt van P naar Q

De vector a wordt dan ook geschreven als \overrightarrow{PQ}. Als de vector a op de tekening een gebonden vector is, is P het aangrijpingspunt van a. De afbeelding stelt een vector in een tweedimensionale ruimte voor. Men kan ook vectoren in ruimtes met andere dimensies beschouwen. Merk op dat men een (vrije) vector op verschillende manieren kan tekenen. Wanneer men op eenzelfde afbeelding verschillende malen dezelfde vector tekent, heeft men verschillende, evenwijdige pijltjes van gelijke lengte die in dezelfde richting wijzen. Twee vectoren zijn gelijk als ze dezelfde grootte en richting hebben. Voor gebonden vectoren komt hier nog de eis bij dat ze hetzelfde aangrijpingspunt moeten hebben. Hierdoor ligt de grafische voorstelling van een gebonden vector volledig vast: men kan niet op één afbeelding twee keer (op een verschillende plaats) dezelfde gebonden vector tekenen. De vectoren a en b op de volgende afbeelding zijn gelijk als het gaat om vrije vectoren, maar verschillend als het gaat om gebonden vectoren, aangezien ze een verschillend aangrijpingspunt hebben.

Twee vectoren.png

Een vector in een n-dimensionale ruimte kan, na een keuze van een basis van deze ruimte, gerepresenteerd worden door n componenten. Laten we in wat volgt werken in de ruimte van het tweedimensionale Euclidische vlak. Stel dat we als basis van ons vlak de vectoren u1 en u2 hebben (omdat we werken met twee dimensies, hebben we ook twee basisvectoren). Dan kan (per definitie van basis) elke vector a geschreven worden als een lineaire combinatie van u1 en u2. Dit wil zeggen dat er getallen a1 en a2 bestaan zodat a = a1u1+a2u2. De vectoren a1u1 en a2u2 heten de componenten van de vector a en de getallen a1 en a2 noemt men de coördinaten van a ten opzichte van de basis {u1, u2} De volgorde van a1 en a2 is belangrijk. In dit geval zijn er twee componenten omdat we in twee dimensies werken. Indien het duidelijk is over welke basis het gaat, vermeldt men vaak de basis niet. Vaak gebruikt men de standaardbasis {e1, e2}: e1 wijst volgens de X-as en heeft lengte 1, e2 wijst volgens de Y-as en heeft ook lengte 1. Voor andere dimensies is de definitie analoog. In drie dimensies noteert men de standaardbasis met {e1, e2, e3}, of soms {ex, ey, ez}. Soms wordt ook de notatie {i, j, k} gebruikt: i wijst volgens de X-as, j volgens de Y-as en k volgens de Z-as, ze hebben alle drie lengte 1. Twee (vrije) vectoren zijn gelijk dan en slechts dan als ze dezelfde componenten hebben. Men schrijft wel (met de a van daarnet): a = (a1, a2), of als kolom:

\vec a =\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}


Norm[bewerken]

In een vectorruimte met Euclidische norm wordt de norm (de 'grootte' of 'lengte') van een n-dimensionale vector v=(v1, v2, ..., vn) gegeven door:

\left\|\bold{v}\right\|= \sqrt{ \bold{v} \cdot \bold{v} } = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \ldots + v_n^2}.


Bewerkingen met vectoren[bewerken]

Men kan verschillende bewerkingen uitvoeren met vectoren.

In de onderstaande deelparagrafen wordt gebruikgemaakt van het cartesisch coördinatenstelsel met de basisvectoren

{\mathbf e}_1 = (1,0,0),\ {\mathbf e}_2 = (0,1,0),\ {\mathbf e}_3 = (0,0,1)

en aangenomen dat alle vectoren de oorsprong als een gemeenschappelijk basispunt hebben. Een vector a wordt geschreven als

{\mathbf a} = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3.

Gelijkheid[bewerken]

Van twee vectoren zegt men dat deze gelijk zijn als ze dezelfde grootte en richting hebben. Of op equivalente wijze twee vectoren zijn gelijk als hun coördinaten aan elkaar gelijk zijn. Twee vectoren

{\mathbf a} = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3

en

{\mathbf b} = b_1{\mathbf e}_1 + b_2{\mathbf e}_2 + b_3{\mathbf e}_3

zijn dus gelijk als

a_1 = b_1,\quad a_2=b_2,\quad a_3=b_3.\,

Optellen van vectoren[bewerken]

Het optellen van vectoren kan men doen aan de hand van een tekening, de zogenoemde parallellogramregel:

Vectorsom met parallellogram.png

Om \vec{a}+\vec{b} te construeren, tekent men \vec{a} en \vec{b} zo, dat de pijltjes die deze vectoren voorstellen in hetzelfde punt vertrekken. Daarna maakt men een parallellogram, zoals op de tekening. Wanneer men dan een pijltje tekent dat begint in hetzelfde punt waar \vec{a} en \vec{b} beginnen, en dat gaat naar de overliggende hoek van het parallellogram, bekomt men een voorstelling van \vec{a}+\vec{b}.

Er bestaat ook een andere manier om \vec{a}+\vec{b} te construeren (kop-staartmethode): als het pijltje dat \vec{a} voorstelt, gaat van P naar Q, teken je \vec{b} zo dat het pijltje dat \vec{b} voorstelt, begint in Q. Als dan het pijltje dat \vec{b} voorstelt, stopt in R, is het pijltje van P naar R een voorstelling van de vector \vec{a}+\vec{b}. De volgende afbeelding illustreert dit:

Vectorsom met driehoek.png
Som van meerdere vectoren

Deze tekening illustreert meteen ook de gelijkheid van Chasles-Möbius:

\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}

Deze manier is ook toepasbaar bij meerdere vectoren.


Ook wanneer het niet mogelijk is om vectoren te tekenen, kun je een vectorsom berekenen. Stel dat v=(v1, v2) en w = (w1, w2). Dan zal v+w = (v1 + w1, v2 + w2).

Wanneer men v en w beschouwt als kolommatrices, kan men gewoon deze matrices optellen om v + w te bekomen.

Verschil van vectoren[bewerken]

b-a is hetzelfde als b + (-a), waarbij -a de vector is met dezelfde grootte als a, maar met tegengestelde richting (zie het voorbeeld van de scalaire vermenigvuldiging).

Vermenigvuldiging van een vector met een scalair[bewerken]

Scalaire vermenigvuldiging mag niet verward worden met het scalair product (zie verder).

Om het verschil tussen getallen en vector aan te duiden, noemt men een getal ook wel een "scalair": de componenten van een vector zijn scalairen. Wanneer men een vector a vermenigvuldigt met een scalair k, krijgt men een nieuwe vector ka. De grootte van ka is |k||a|. De richting blijft behouden als k > 0, en wordt omgekeerd als k < 0. Sommigen, zoals in Vlaanderen, maken onderscheid in richting en zin. De richting van ka is dan steeds dezelfde als van a, maar de zin blijft behouden als k > 0, en wordt omgekeerd als k < 0. De volgende afbeelding illustreert de begrippen:

Skalaire vermenigvuldiging.png

Hierbij is -a gelijk aan (-1)a. Als a=(a1, a2, ..., an) ten opzichte van een willekeurige basis, dan zal, ten opzichte van diezelfde basis, ka=(ka1, ka2, ..., kan).

Norm van een vector[bewerken]

De lengte, grootte of norm van de vector a wordt aangeduid door ||a|| of, minder gebruikelijk, |a|. De norm van een vector dient niet te worden verward met de absolute waarde ( een scalaire "norm").

De norm van de vector a kan worden berekend met:

\left\|\mathbf{a}\right\|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}

wat een gevolg is van de stelling van Pythagoras aangezien de basisvectoren e1, e2, e3 orthonogale eenheidsvectoren zijn.

De norm van de vector is gelijk aan de vierkantswortel van het inwendig product van de vector met zichzelf:

\left\|\mathbf{a}\right\|=\sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}.

Inwendig product[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie inwendig product voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Het inwendig product (ook wel inproduct, scalair product of dot product genoemd) van twee vectoren a en b zegt iets over de hoek tussen de vectoren. Er geldt namelijk:

\bold{a}\cdot\bold{b} = |\bold{a}||\bold{b}|\cos{\theta},

waarin \theta de hoek tussen a en b is. Soms wordt deze formule als definitie genomen en moet het begrip hoek al bekend zijn. Ook wordt als definitie wel gehanteerd:

\bold{a}\cdot \bold{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... +a_nb_n,

waarin a=(a1, a2, ..., an) en b=(b1, b2, ..., bn).

De hoek \theta tussen de vectoren a en b is dan:

\theta = \arccos ( \frac {\bold{a}\cdot\bold{b}} {|\bold{a}||\bold{b}|}),

Als twee vectoren loodrecht op elkaar staan, is het inwendig product gelijk aan 0.

Kruisproduct[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie kruisproduct voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Voor twee vectoren \vec{a} en \vec{b} in de gewone drie-dimensionale euclidische vectorruimte bestaat ook het kruisproduct (ook wel vectorproduct, uitproduct, uitwendig product of vectorieel product genoemd)

\vec{a}\times\vec{b}.

Het vectorproduct is een vector loodrecht op beide vectoren met een grootte gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram gevormd door de beide vectoren en de richting (of zin) volgens de kurkentrekkerregel (ook rechterhandregel genoemd).

Uitgedrukt in de coördinaten van \vec{a} en \vec{b} luidt het vectorproduct:

\vec{a}\times\vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1).

Merk op dat het uitproduct niet commutatief is:

\vec{b}\times\vec{a}\ne\vec{a}\times\vec{b}.

Er geldt namelijk

\vec{b}\times\vec{a}=-(\vec{a}\times\vec{b}).

Eenheidsvector[bewerken]

De normalisering van een vector a in een eenheidsvector â
Nuvola single chevron right.svg Zie eenheidsvector voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een eenheidsvector is een vector met een norm van precies één; eenheidsvectoren worden vooral gebruikt om een richting aan te geven. Een vector met willekeurige niet-nulle norm kan worden gedeeld door zijn norm om zo een eenheidsvector te creëren. Dit proces staat bekend als het normaliseren van een vector. Een eenheidsvector wordt vaak aangeduid met een hoedje, zoals in â of ook door \vec{e_a} .

Om een vector a = [a1, a2, a3] te normaliseren, verschaal de vector met de reciproke van zijn lengte ||a||:

\mathbf{\hat{a}} = \frac{\mathbf{a}}{\left\|\mathbf{a}\right\|} = \frac{a_1}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{e_1} + \frac{a_2}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{e_2} + \frac{a_3}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{e_3}

Nulvector[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie nulvector voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De nulvector is de vector met grootte nul. Geschreven in coördinaten is de vector (0,0,0), en wordt hij in het algemeen aangeduid met \vec{0}, of 0, of ook gewoon 0. In tegenstelling tot enige andere vector, heeft de nulvector geen richting, en kan hij ook niet worden genormaliseerd (dat wil zeggen dat er geen eenheidsvector is, die een veelvoud is van de nulvector). De som van de nulvector en enige vector a is a (dat wil zeggen dat 0 + a = a).

Vectoren in de natuurkunde[bewerken]

In de mechanica wordt een kracht vaak voorgesteld door een vector: de grootte van de vector is de grootte van de kracht, en de richting van de vector is de richting waarin de kracht werkt.

Men kan een onderscheid maken tussen "scalaire grootheden" en "vectoriële grootheden". Het verschil is dat een scalaire grootheid geen richting heeft, en een vectoriële grootheid wel. Voorbeelden van scalaire grootheden uit de natuurkunde zijn: massa, volume en temperatuur.

Voorbeelden van vectoriële grootheden zijn:

In de natuurkunde bestaan ook vectorvelden. Dit zijn velden in de ruimte, waar in elk punt een vector staat die een verschillende grootte, maar ook een verschillende richting kan hebben. Voorbeelden zijn:

Vectoren in de wiskunde[bewerken]

In de context van de lineaire algebra is een vector een element van een vectorruimte. In deze context hebben vectoren niet steeds een grootte en een richting. Voorbeelden van vectoren zonder grootte en richting zijn vectoren uit een vectorruimte over een eindig lichaam (Ned) / eindig veld (Be) of over het lichaam (Nederlandse term; in België: veld) van de complexe getallen. Het is ook moeilijk om van deze vectoren een tekening te maken. Merk op dat vrije vectoren, die gebruikt worden in de natuurkunde, ook elementen zijn van een vectorruimte en dus ook vectoren zijn in de context van de lineaire algebra.

Zie ook[bewerken]