Stelling van Pythagoras

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Afbeelding van een rechthoekige driehoek ter illustratie van de stelling van Pythagoras

De stelling van Pythagoras is een wiskundige stelling die haar naam dankt aan de Griekse wiskundige Pythagoras. 'Zijn' stelling was overigens alleen maar nieuw voor de Grieken. In Soemerië was het resultaat al veel langer bekend, en ook in Babylonië en het oude Egypte werd ze al eerder toegepast (met name de verhouding a=3;b=4;c=5 werd al vroeg gebruikt om rechte hoeken uit te meten, zoals dat tot op de dag van vandaag door sommigen nog wordt gedaan). Echter, belangrijker dan de kennis van de stelling om haar enkel toe te passen, is het leveren van een bewijs. Wat dat betreft waren de Grieken (Pythagoras of een van zijn leerlingen) wel de eersten. Zij wisten niet alleen dat de stelling waar was, maar konden ook in algemene termen (abstracties) aantonen waarom zij waar was.

Stelling[bewerken]

De stelling van Pythagoras geeft een verband tussen de lengten van de zijden van een rechthoekige driehoek. In woorden luidt de stelling:

In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de lengte van de schuine zijde.

Noemen we de lengten van rechthoekszijden (de zijden die aan de hoek van 90° liggen) a en b, en de lengte van de schuine zijde (de zijde die niet aan de rechte hoek grenst, ook wel "hypotenusa" genoemd) c, dan is de bekende wiskundige vorm van de stelling:

\!a^2 + b^2 = c^2

(Dit is Propositie I.47 uit de Elementen van Euclides)

De stelling van Pythagoras is equivalent met het parallellenpostulaat. Daarom geldt de stelling van Pythagoras niet in niet-euclidische meetkunde.[1]

Voorbeeld[bewerken]

Een rechthoekige driehoek heeft rechthoekszijden met lengten a=3 en b=4. De schuine zijde heeft de lengte c. Volgens de stelling van Pythagoras geldt nu:

\!c^2=a^2 + b^2 = 3^2+4^2=9+16=25

Omdat de lengte c niet negatief kan zijn, is

c=\sqrt {25}=5

Als van dezelfde driehoek de lengten b=4 en c=5 gegeven zijn, volgt de lengte a van de overgebleven zijde uit:

\!a^2=c^2 - b^2 = 5^2-4^2=25-16=9

Omdat de lengte a niet negatief kan zijn, is

a=\sqrt {9}=3

Bewijzen[bewerken]

Er bestaan meer dan 300 bewijzen voor de stelling van Pythagoras. Onder deze bewijzen zijn er die zijn ontdekt of mogelijk herontdekt door prominenten, zoals James Garfield, 20e president van de Verenigde Staten, en Multatuli.

Bewijs met opdelen vierkant[bewerken]

Bewijs

Een van de meer eenvoudige bewijzen deelt een vierkant met zijde a+b op twee manieren in. In de linkerfiguur is het vierkant opgebouwd uit een vierkant met zijde a, een vierkant met zijde b, en 4 rechthoekige driehoeken waar we mee begonnen. De rechterfiguur is een vierkant opgebouwd uit een vierkant met zijde c, en wederom de 4 rechthoekige driehoeken.

In beide figuren zien we een vierkant met zijde a+b, dus beide vierkanten hebben dezelfde oppervlakte. Laten we nu zowel links als rechts de vier rechthoekige driehoeken weg, dan hebben de figuren die je overhoudt nog steeds dezelfde oppervlakte. Maar links houd je een vierkant met zijde a, en een vierkant met zijde b over, met samen een oppervlakte van a2+b2. Rechts houd je een vierkant met zijde c over, met een oppervlakte van c2. Hieruit volgt de stelling.

Voor mensen die van meer algebraïsche bewijzen houden, ziet het bewijs er als volgt uit: Telkens zijn er een korte en een lange zijde in elkaars verlengde geplaatst. De lengte en breedte van de zijden van het vierkant zijn (a+b), dus de oppervlakte van het grote vierkant is (a+b)2.

De oppervlakte is ook gelijk aan de som van de vier driehoeken (4 × ½ab) plus de oppervlakte van het binnenste vierkant, dat oppervlakte c2 heeft.

Dus

 (a+b)^2 = 2ab + c^2\,

Uitwerken van het kwadraat links geeft:

a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2\,

Dus:

a^2 + b^2 = c^2\,

Q.E.D.

Bewijs met gelijkvormigheid[bewerken]

P triangle.svg

Een ander inzichtelijk bewijs maakt gebruik van een hulplijn. Hiertoe dient de hoogtelijn vanuit de rechte hoek C, die zijde AB snijdt in het punt D.

Het is nu snel in te zien dat driehoek ACD gelijkvormig is aan driehoek ABC. Immers, de hoeken bij A zijn dezelfde, en beide driehoeken hebben ook een rechte hoek, bij C resp. D.

Op dezelfde manier zien we dat driehoek CBD gelijkvormig is aan driehoek ABC. We hebben dus drie gelijkvormige driehoeken. Kijken we naar de verhoudingen van de lengtes van de zijden van de driehoeken, dan zien we dat die gelijk zijn aan a:b:c, immers precies de schuine zijden van de drie driehoeken. Dat betekent dat de oppervlaktes van de driehoeken zich verhouden als a²:b²:c², de kwadraten van de verhoudingen van de zijden. Omdat duidelijk is dat opp(CBD) + opp(ACD) = opp(ABC), geldt kennelijk voor een bepaald getal k dat ka²+kb²=kc². En de stelling van Pythagoras volgt door deling door k.

Bewijzen zonder woorden[bewerken]

Hoewel geen formeel bewijs, is het bewijs zonder woorden een populaire manier om de geldigheid van een stelling te visualiseren zonder daarbij tekst te gebruiken. Ook van de stelling van Pythagoras zijn diverse bewijzen zonder woorden bekend, met name zogenaamde puzzelstukjesbewijzen. Enkele voorbeelden staan hieronder.

Omkering[bewerken]

De omkering van de stelling van Pythagoras is ook waar. Als voor een driehoek met zijden a, b en c geldt:

c^2=a^2+b^2

dan is die driehoek rechthoekig, met de hoek die tegenover de zijde c ligt de rechte hoek.

Als geldt dat a2+b2 > c2, dan is de hoek die niet aan c ligt scherp, en als a2+b2 < c2, dan is die hoek stomp. Dit volgt meer precies uit de cosinusregel, die geldt als een uitbreiding van de stelling van Pythagoras voor alle driehoeken

c^2=a^2+b^2-2ab \cos(\gamma).

Hier is γ de hoek bij hoekpunt C. De stelling van Pythagoras is van de cosinusregel een bijzonder geval, omdat cos(90°)=0.

Pythagorese drietallen[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Pythagorese drietallen voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De kleinste positieve gehele getallen die aan relatie van de stelling van Pythagoras voldoen zijn 3,4,5, immers 3² + 4² = 5². Zo'n drietal heet een Pythagorees drietal. Uiteraard voldoet ook elk geheel veelvoud hiervan, zoals 6² + 8² = 10². Dit is eenvoudig als volgt in te zien: als (a,b,c) een Pythagorees drietal is, dan geldt dat a² + b² = c². Daaruit volgt dat k²(a² + b²) = k²c², ofwel k²a² + k²b² = k²c², dus is (ka,kb,kc) ook een Pythagorees drietal.

Ook als men de veelvouden van een drietal niet meetelt, dus als de drie getallen relatief priem zijn, zijn er oneindig veel combinaties van positieve gehele getallen die aan de vergelijking x²+y²=z² voldoen. (5,12,13) is een andere bekende combinatie.

De algemene vorm voor Pythagorese drietallen die relatief priem zijn, is:

\!\, t^2-s^2,\ 2ts en \!\,t^2+s^2

waarin t en s positieve gehele getallen zijn, relatief priem en met t>s.

Er geldt immers:

\!\, (t^2-s^2)^2+(2ts)^2 = (t^2+s^2)^2

Voor t=2 en s=1 krijgen we de relatie: 3² + 4² = 5².

Goniometrische grondformule[bewerken]

Uit de stelling van Pythagoras volgt eveneens de grondformule van de goniometrie. Voor een rechthoekige driehoek met schuine zijde gelijk aan 1 geldt namelijk:

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

Euclidische afstand[bewerken]

Door herhaling van de stelling van Pythagoras in driehoek ABC en vervolgens driehoek ACD vindt men dat de lichaamsdiagonaal AD een lengte heeft die de wortel is uit de som van de kwadraten van de drie ribben AB, BC en CD.

De afstandsformule in het cartesisch coördinatenstelsel is van de stelling van Pythagoras afgeleid. De euclidische afstand is van een punt (x1, y1) tot (x2, y2) is gegeven door

 \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}.

Kijken we in n dimensionale cartesische coördinaten, dan dan is de afstand van (a_1,a_2,\dots,a_n) tot (b_1,b_2,\dots,b_n) gedefinieerd door

\sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2}.

Deze algemene formule kan men afleiden door herhaling van de afstandsformule in 2 dimensies.

Dit kan men zich voorstellen door in drie dimensies te kijken naar een balk (zie figuur hiernaast). De ribben in de drie verschillende richtingen horen bij de verschillen van de x-, y- en z-coördinaten. Men vindt nu de lengte van de lichaamsdiagonaal AD door eerst te zien dat AC² = AB² + BC² (driehoek ABC is recht) en vervolgens dat AD² = AC² + CD ² (ook driehoek ACD is recht). Dit is te comineren tot AD² = AB² + BC² + CD ²

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties