Hyperbolische meetkunde

Een driehoek op een zadelvorm.

In de wiskunde is de hyperbolische meetkunde (of Bolyai-Lobatsjevski meetkunde) een niet-Euclidische meetkunde. In de hyperbolische meetkunde vervangt men het parallellenpostulaat uit de Euclidische meetkunde. Het parallellenpostulaat is in de Euclidische meetkunde equivalent met de bewering dat, in de twee dimensionale ruimte, voor elke gegeven lijn l en een punt P, die niet op l ligt, er precies één lijn door P loopt, die l niet kruist, dat wil zeggen parallel aan l loopt. In de hyperbolische meetkunde zijn er ten minste twee verschillende lijnen door P die l niet snijden, dus is het parallellenpostulaat in de hyperbolische meetkunde onjuist. Binnen de Euclidische meetkunde zijn modellen gebouwd die gehoorzamen aan de axioma's van de hyperbolische meetkunde, en die zo bewezen dat het parallellenpostulaat onafhankelijk is van de andere postulaten van Euclides.

Aangezien er geen precies hyperbolisch analogon voor Euclidische parallelle lijnen bestaat, varieert de hyperbolische betekenis van parallel en verwante termen tussen de diverse auteurs. In dit artikel worden de begrenzende lijnen asymptotisch genoemd en worden lijnen die een gemeenschappelijke loodlijn delen ultraparallel genoemd; het woord parallel kan op beide situaties van toepassing zijn.

De hyperbolische meetkunde is ontdekt door Bolyai, Lobatsjevski en Gauss rond 1830.

Driehoeken

Afstanden in het hyperbolische vlak kunnen worden gemeten in de lengte eenheid $R = \frac{1}{\sqrt{-K}}$, analoog aan de straal van de bol in de sferische geometrie (hierin is de constante $K$ de Gaussiaanse kromming van het oppervlak). Gebruik makend van deze lengte-eenheid kan een theorema in de hyperbolische geometrie worden bewezen analoog aan de Stelling van Pythagoras. Als a, b de zijden zijn en c is de hypotenusa van een rechthoekige driehoek allen gemeten in deze eenheid dan geldt:

$\cosh c=\cosh a\cosh b\,.$

De cosh functie is een hyperbolische functie analoog aan de standaard cosinus functie. Alle zes standaard goniometrische functies hebben hyperbolische analogen. De betrokken zijden en hoeken van een hyperbolische driehoek zijn als volgt verbonden met functies: de hyperbolische functies zijn toepasselijk op de zijden en de standaard goniometrische functies worden toegepast op de hoeken. Bijvoorbeeld de sinus voor hyperbolische driehoeken is:

$\frac{\sin A}{\sinh a} = \frac{\sin B}{\sinh b} = \frac{\sin C}{\sinh c}.$

Voor meer over goniometrische relaties zie hyperbolische driehoeken.

Driehoeken in het Euclidische vlak hebben hoeken die samen 180° (=π radialen) zijn, hyperbolische driehoeken hebben hoeken die samen altijd minder dan 180° zijn. Het verschil wordt het geometrische Defect genoemd. Het oppervlak van een hyperbolische driehoek wordt gegeven door zijn defect vermenigvuldigd met R² waarbij $R = \frac{1}{\sqrt{-K}}$. Zodoende hebben hyperbolische driehoeken een oppervlak kleiner dan πR². Het oppervlak van een ideale hyperbolische driehoek is gelijk aan dit maximum.

Net als in de sferische geometrie zijn de enige gelijkvormige driehoeken uitsluitend congruente driehoeken.

Zie ook

• Elliptische meetkunde

Literatuur

• (en) Coxeter, H. S. M., (1942) Non-Euclidean geometry (niet-Euclidische meetkunde), University of Toronto Press, Toronto
• (en) Milnor, John W., (1982) Hyperbolische meetkunde: de eerste 150 jaar, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pag. 9-24.