Goniometrie

Goniometrische cirkel met de desbetreffende aanduiding van de sinus en cosinus van een hoek α.

Sinus en cosinus op de goniometrische cirkel.

De goniometrische cirkel.

De goniometrie of trigonometrie (Grieks: τρι, drie, γωνια (gonia), hoek en μετρειν (metrein), meten) is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met driehoeken en in het bijzonder de oorspronkelijk op driehoeken gebaseerde goniometrische functies zoals sinus (sin), cosinus (cos) en tangens (tan). Dit is een basisvak van de vlakke meetkunde, omdat alle andere vormen die door rechte lijnen worden ingesloten, opgebouwd kunnen worden uit driehoeken.

De goniometrie kent vele toepassingen, onder andere bij de driehoeksmeting.

De goniometrische cirkel

Een goniometrische cirkel of eenheidscirkel is een cirkel met als middelpunt de oorsprong van het assenstelsel en een straal met lengte 1. De voerstraal naar een punt op de cirkel maakt een hoek α met de x-as. De sinus van deze hoek, sin(α), is gelijk aan de lengte van de overliggende rechthoekzijde en dus gelijk aan de y-coördinaat van het punt. De cosinus van de hoek, cos(α), is gelijk aan de lengte van de aanliggende rechthoekzijde en dus gelijk aan de x-coördinaat van het punt.

Bij een niet-goniometrische cirkel (een cirkel met een straal met een lengte anders dan 1) dient bij de berekening hier rekening mee te worden gehouden. Algemeen werd dan ook als de sinus van een hoek, sin(α), gesteld dat deze gelijk is aan de lengte van de overliggende rechthoekzijde gedeeld door de schuine zijde. De cos(α) is dus gelijk aan de aanliggende rechthoekszijde gedeeld door de schuine zijde.

Uit de goniometrische cirkel is ook de hoekeenheid radiaal afgeleid: de booglengte tussen twee punten op deze cirkel is de hoek tussen de voerstralen van deze punten. 1 (één) radiaal is de hoek waarbij de booglengte gelijk is aan de straal (= 180°/π, is gelijk aan ruim 57°).

Relaties tussen hoeken

Met behulp van de cirkel worden de volgende relaties zichtbaar:

$\sin(-\alpha) = - \sin(\alpha)\!$

$\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)\!$

De tangens van een hoek is gedefinieerd als de verhouding tussen overstaande en de aanliggende rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek en is dus:

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

zodat:

$\tan(-\alpha) = - \tan(\alpha)\!$

Uit de stelling van Pythagoras volgt:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \!$

In een rechthoekige driehoek kan men met behulp van een aantal verhoudingen de zijden berekenen. Hierin zijn secans (sec), cosecans (csc) en cotangens (cot) de reciproque functies van respectievelijk: de cosinus, sinus en tangens.

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

$\sec\alpha = \frac{1}{\cos\alpha}$

$\csc\alpha = \frac{1}{\sin\alpha}$

$\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{1}{\tan\alpha}$

Met de basisrelaties kan steeds een van de functies in een andere worden uitgedrukt, zij het slechts voor een rechthoekige driehoek. De 'kunst' bij goniometrie is dan ook vaak om een willekeurige driehoek of veelhoek op te delen in rechthoekige driehoeken, zodat de basisrelaties toegepast kunnen worden.

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$

$\sin \alpha = \frac{\tan \alpha}{ \sqrt{1 + \tan^2 \alpha} }$

$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$

$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha} }$

$\tan \alpha = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} }{\cos \alpha}$

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} }$

Verdere omrekenregels

Illustratie van de somregel.

De som- en verschilregels:

$\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha\ \cos \beta - \cos \alpha\ \sin \beta$

$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha\ \cos \beta + \cos \alpha\ \sin \beta$

$\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha\ \cos \beta + \sin \alpha\ \sin \beta$

$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha\ \cos \beta - \sin \alpha\ \sin \beta$

$\tan (\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$

$\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$

Met α = β levert dat de volgende uitdrukkingen:

$\sin (2 \alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \!$

$\cos (2 \alpha) = \cos^2 \alpha- \sin^2 \alpha \!$

$\cos (2 \alpha) = 2 \cos^2 \alpha\ - 1$

$\cos (2 \alpha) = 1 - 2 \sin^2 \alpha\$

$\tan (2 \alpha) = \frac{ 2 \tan \alpha\ }{ 1 - \tan^2 \alpha\ }$

Voor het drievoud van een hoek volgt uit de somregels in combinatie met de regels voor de dubbele hoek het volgende:

$\sin (3 \alpha) = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha \!$

$\cos (3 \alpha) = 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha \!$

$\tan (3 \alpha) = \frac{3 \tan \alpha - \tan^3 \alpha}{1 - 3 \tan^2\alpha}$

De regels van Simpson voor de som zijn:

$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos \frac{\alpha + \beta}{2}\cos \frac{\alpha - \beta}{2}$

$\cos\alpha - \cos\beta =-2\sin \frac{\alpha + \beta}{2}\sin \frac{\alpha - \beta}{2}$

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin \frac{\alpha + \beta}{2}\cos \frac{\alpha - \beta}{2}$

$\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos \frac{\alpha + \beta}{2}\sin \frac{\alpha - \beta}{2}$

Verder geldt:

$\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \cos \left( \alpha - \tfrac{1}{4}\pi \right)$

$\sin \alpha - \cos \alpha = -\sqrt{2} \cos \left( \alpha + \tfrac{1}{4}\pi \right)$

Nodig bij het integreren:

$\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$

$\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$

$\sin\alpha\cos\beta = \tfrac{1}{2} \sin (\alpha - \beta) + \tfrac{1}{2} \sin (\alpha + \beta)$

$\sin\alpha\sin\beta = \tfrac{1}{2} \cos (\alpha - \beta) - \tfrac{1}{2} \cos (\alpha + \beta)$

$\cos\alpha\cos\beta = \tfrac{1}{2} \cos (\alpha - \beta) + \tfrac{1}{2} \cos (\alpha\ + \beta\ )$

$\sin^2\alpha \cos^2\alpha = \frac{1 - \cos(4\alpha)}{8}$

Ezelsbruggetje

Zie Soscastoa voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

• SOS: sin = overstaande rechthoekzijde ÷ schuine zijde
• CAS: cos = aanliggende rechthoekzijde ÷ schuine zijde
• TOA: tan = overstaande rechthoekzijde ÷ aanliggende rechthoekzijde

Inverse functies

Arcsin(x): deze voert een getal (op de x-as) terug naar de bijbehorende hoek, hier in radialen (op de y-as).

De inverse (omgekeerde) functies van sin, cos en tan zijn:

• arcsinus (ook aangeduid als boogsinus, asin, arcsin, bgsin of sin^-1)
• arccosinus (boogcosinus, acos, arccos, bgcos of cos^-1)
• arctangens (atan, arctan, bgtan of tan^-1)

Deze functies voeren een getal terug naar de bijbehorende hoek en heten ook wel cyclometrische functies. Ze worden gevonden uit de oorspronkelijke functies door x- en y-assen te verwisselen (spiegeling ten opzichte van de lijn y=x).

Goniotafel

Voorbeeld uit goniometrische tafel 1963

Om de waarde te bepalen van een goniometrische functie bij een bepaalde hoek wordt gebruikt gemaakt van een computer of rekenmachine. Vóór de introductie van deze hulpmiddelen werd gebruikgemaakt van een zogenaamde goniometrische tafel of kortweg een goniotafel. In een goniotafel, welke vaak was gecombineerd met een logaritmische tafel of logaritmetafel, werd voor de hoeken tussen 0 en 90 graden, met een verdere onderverdeling in minuten, de logaritmische waarden (log-waarden) gegeven voor de sin-, cos-, cotan- en tan-functie. Met de logaritmetafel kon deze waarde vervolgens worden omgezet in een reëel getal. Tussenliggende hoekwaarden kon men berekenen door te interpoleren. Grotere of negatieven hoeken kon men berekenen door gebruik te maken van de standaard goniometrische relaties.

Zie ook

• Nasir al-Din al-Toesi
• Sinus en cosinus
• Tangens en cotangens
• Lijst van goniometrische gelijkheden
• Driehoeksmeting
• Boldriehoeksmeting
• Goniometrische functie
• Cyclometrische functie
• Hyperbolische functie

Bronnen, noten en/of referenties