Arctangens

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Arctangens (rood) en Arccotangens (groen)

De arctangens of boogtangens (ook afgekort tot atan of arctan of bgtan of tan−1[1] ) is een cyclometrische functie in de wiskunde.

Een functie f met vergelijking y = f(x) is inverteerbaar als er voor ieder beeld y precies één element x is waarvoor f(x) = y.

De tangensfunctie met vergelijking y = \tan x \, is niet inverteerbaar want er zijn, bijvoorbeeld, veel x-waarden waarvoor \tan x = 1 \,.

Indien echter het domein van de tangensfunctie beperkt wordt tot ] -\pi/2 , \pi/2 [ dan wordt die beperkte tangensfunctie inverteerbaar want dan correspondeert met elk beeld y juist één element x is waarvoor \tan x = y \,.

De arctangensfunctie wordt gedefinieerd als de inverse functie van die beperkte tangensfunctie.

De grafiek van y = \arctan x\, is het spiegelbeeld van de beperkte tangens grafiek ten opzichte van de rechte y = x. Het domein is  \R en het bereik is ] -\pi/2 , \pi/2 [\,.


Machtreeks[bewerken]

De arctangens heeft de volgende reeksontwikkeling voor x in het gesloten interval [−1,+1]:


\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=x-\tfrac13 x^3+\tfrac15 x^5-\tfrac17 x^7+ \cdots

Het resultaat daarvan ligt dus in het gesloten interval [−π/4,+π/4].
Er is een ingewikkelder reeks voor x in het open interval (−∞,+∞).

Complexe notatie[bewerken]

Gebruik makend van de complexe definities van sinus en cosinus kan de arctangens genoteerd worden als:


\arctan(x)=\tfrac12i\ln\left(\frac{1-xi}{1+xi}\right)

De functie Arctan2[bewerken]

In praktische situaties is de arctangens niet altijd bruikbaar omdat hij een antwoord geeft in het interval [−½π,+½π], terwijl de werkelijke hoek om het even waar op de cirkel kan liggen. Dit is het geval indien een complex getal gebruikt wordt om een amplitude en een fase te beschrijven, zoals bij de fouriertransformatie. Om de hoek θ van een complex z = a + i b te vinden kan men eerst de artangens van ba nemen, maar om de correcte hoek te vinden moet het resultaat van die arctangens worden verhoogd met π indien a < 0. De meeste programmeertalen zijn daarom voorzien van een tweede arctangensfunctie met twee argumenten: het reëel en imaginair deel van het complex getal moeten apart worden gegeven. Dit laat toe na te gaan in welk kwadrant het complex getal zich bevindt, en wat zijn hoek is. De naam van die functie hangt af van de software, maar is vaak "atan2" of "arctan2". De definitie luidt:


\mathrm{Arctan2}(y,x)= 
\begin{cases}
\arctan(\frac yx) & \mbox{voor}\ x > 0\\
\arctan(\frac yx) + \pi & \mbox{voor}\ x < 0,  y \ge 0\\
\arctan(\frac yx) - \pi & \mbox{voor}\ x < 0,  y < 0\\
+\frac 12 \pi & \mbox{voor}\ x = 0,\ y > 0\\
-\frac 12\pi & \mbox{voor}\ x = 0,\ y < 0\\
\text{onbepaald} & \mbox{voor}\ x = 0,\ y = 0\\
\end{cases}

De bovenstaande definitie van Arctan2 kan ook geformuleerd worden met behulp van het teken van y.

\mathrm{Arctan2}(y, x) = 
\begin{cases}
\sgn(y)\cdot \arctan(|\frac{y}{x}|) & \qquad x > 0 \\
\sgn(y)\cdot \frac{\pi}{2} & \qquad x = 0,y\ne 0 \\
\text{onbepaald} & \qquad x = 0, y=0 \\
\sgn(y)\cdot (\pi - \arctan(|\frac{y}{x}|)) & \qquad x < 0 \\
\end{cases}

Voorbeeld[bewerken]

Het argument (in hoofdwaarde) van het complexe getal -2+2i wordt niet gegeven door de arctan van het quotiënt van imaginair en reel deel. Dat levert immers de waarde:

\arctan\left(\tfrac{2}{-2}\right) = \arctan(-1) = -\tfrac{1}{4}\pi.

De werkelijke hoek is echter ¾π, wat ook het resultaat is van:

\mathrm{Arctan2}(2,-2) = \arctan(\tfrac 2{-2}) +\pi=\tfrac 34 \pi..

Afgeleide en integraal[bewerken]

De afgeleide van de arctangens is:

\frac{{\rm d}}{{\rm d} x}\arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}

De integraal van de arctangens kan met partiële integratie worden berekend:

\int \arctan(x) {\rm d} x = x \arctan(x) - \tfrac{1}{2} \ln(1+x^2) + C

Zie ook[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. Dit wordt afgeraden, wegens de mogelijke verwarring met 1/tan.