Arctangens

Arctangens (rood) en Arccotangens (groen)

De arctangens of boogtangens (ook afgekort tot atan of arctan of bgtan of tan⁻¹ ) is een cyclometrische functie in de wiskunde, die de relatie beschrijft die de inverse is van de tangens.

Het resultaat van de arctangens is de hoek waarvan de tangens het argument als waarde heeft:

$y=\arctan x \longrightarrow x=\tan y$

Aangezien de tangens een periodieke functie is met periode pi, is de arctangens strikt genomen geen functie: voor elk argument zijn er oneindig veel corresponderende hoeken. Traditioneel wordt de arctangens tussen −π/2 en +π/2 gekozen.

In tegenstelling tot de arcsinus en de arccosinus heeft de arctangens een waarde voor elk reëel argument; de tangens kan immers elke reële waarde aannemen.

Machtreeks

De arctangens heeft de volgende reeksontwikkeling voor x in het gesloten interval [−1,+1]:

$\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=x-\tfrac13 x^3+\tfrac15 x^5-\tfrac17 x^7+ \cdots$

Het resultaat daarvan ligt dus in het gesloten interval [−π/4,+π/4].
Er is een ingewikkelder reeks voor x in het open interval (−∞,+∞).

Complexe notatie

Gebruik makend van de complexe definities van sinus en cosinus kan de arctangens genoteerd worden als:

$\arctan(x)=\tfrac12i\ln\left(\frac{1-xi}{1+xi}\right)$

De functie Arctan2

In praktische situaties is de arctangens niet altijd bruikbaar omdat hij een antwoord geeft in het interval [−½π,+½π], terwijl de werkelijke hoek om het even waar op de cirkel kan liggen. Dit is het geval indien een complex getal gebruikt wordt om een amplitude en een fase te beschrijven, zoals bij de Fouriertransformatie. Om de hoek θ van een complex z = a + i b te vinden kan men eerst de artangens van ^b⁄_a nemen, maar om de correcte hoek te vinden moet het resultaat van die arctangens worden verhoogd met π indien a < 0. De meeste programmeertalen zijn daarom voorzien van een tweede arctangensfunctie met twee argumenten: het reëel en imaginair deel van het complex getal moeten apart worden gegeven. Dit laat toe na te gaan in welk kwadrant het complex getal zich bevindt, en wat zijn hoek is. De naam van die functie hangt af van de software, maar is vaak "atan2" of "arctan2". De definitie luidt:

$\mathrm{Arctan2}(y,x)= \begin{cases} \arctan(\frac yx) & \mbox{voor}\ x > 0\\ \arctan(\frac yx) + \pi & \mbox{voor}\ x < 0, y \ge 0\\ \arctan(\frac yx) - \pi & \mbox{voor}\ x < 0, y < 0\\ +\frac 12 \pi & \mbox{voor}\ x = 0,\ y > 0\\ -\frac 12\pi & \mbox{voor}\ x = 0,\ y < 0\\ \text{onbepaald} & \mbox{voor}\ x = 0,\ y = 0\\ \end{cases}$

De bovenstaande definitie van Arctan2 kan ook geformuleerd worden met behulp van het teken van y.

$\mathrm{Arctan2}(y, x) = \begin{cases} \sgn(y)\cdot \arctan(|\frac{y}{x}|) & \qquad x > 0 \\ \sgn(y)\cdot \frac{\pi}{2} & \qquad x = 0,y\ne 0 \\ \text{onbepaald} & \qquad x = 0, y=0 \\ \sgn(y)\cdot (\pi - \arctan(|\frac{y}{x}|)) & \qquad x < 0 \\ \end{cases}$

Voorbeeld

Het argument (in hoofdwaarde) van het complexe getal $-2+2i$ wordt niet gegeven door de arctan van het quotiënt van imaginair en reel deel. Dat levert immers de waarde:

$\arctan\left(\tfrac{2}{-2}\right) = \arctan(-1) = -\tfrac{1}{4}\pi$.

De werkelijke hoek is echter ¾π, wat ook het resultaat is van:

$\mathrm{Arctan2}(2,-2) = \arctan(\tfrac 2{-2}) +\pi=\tfrac 34 \pi.$.

Afgeleide en integraal

De afgeleide van de arctangens is:

$\frac{{\rm d}}{{\rm d} x}\arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}$

De integraal van de arctangens kan met partiële integratie worden berekend:

$\int \arctan(x) {\rm d} x = x \arctan(x) - \tfrac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$

Zie ook

• Arccosinus
• Arcsinus
• Arccotangens
• Cyclometrische functie

Bronnen, noten en/of referenties

Wiskundige functies

Basisfuncties: Optellen · Aftrekken · Vermenigvuldigen · Delen · Machtsverheffen · Worteltrekken Logaritme: Logaritme · Natuurlijke logaritme · Exponentiële functie Trigonometrie: Sinus en cosinus · Tangens en cotangens · Secans en cosecans Inverse functies: Arcsinus · Arccosinus · Arctangens Arccotangens · Arcsecans · Arccosecans Hyperbolische functies: Sinus hyperbolicus · Cosinus hyperbolicus · Tangens hyperbolicus · Cotangens hyperbolicus · Secans hyperbolicus · Cosecans hyperbolicus