Sinus en cosinus

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Sinus en cosinus zijn termen uit de goniometrie (wiskunde). De Arabiërs introduceerden het begrip sinus als: gib wat letterlijk koorde betekend. Toen het wetenschappelijk centrum van de wereld verschoof, werden de Arabische werken in de 12e eeuw vertaald naar het Latijn. Hierbij werd gib verward met gaib. wat betekend: bocht of vrouwenborst. Ondanks de foute vertaling raakte het begrip toch ingeburgerd en dat is de reden dat we ze vandaag nog steeds kennen als: sinus.

Sinus en cosinus worden in de wiskunde gebruikt als aanduidingen van lengtes van lijnstukken. Later werden van deze lengtes functies afgeleid. Zo is de sinus de functie met als grafiek de bekende golflijn. Merk op dat deze functie periodiek is met periode 2π. De sinus heeft dus dezelfde waarde voor de hoeken α, α+2π, α+4π, ... De grafiek is op de intervallen $[2\pi,4\pi\rangle$ , $[4\pi,6\pi\rangle$ , etcetera een herhaling van het deel tussen 0 en 2π. Dit komt doordat een hoek van bijvoorbeeld 480° als echte hoek gelijk is aan een hoek van 1·360°+120°, dus een keer helemaal rond en dan nog eens 120°.

De constructie en eigenschappen van de cosinus zijn analoog.

Inhoud

1 Sinus en cosinus in het verleden en een stukje heden
2 Sinus en cosinus in het heden
3 Toepassingen
4 Enkele voorbeelden
5 Zie ook
6 Externe links

[bewerk] Sinus en cosinus in het verleden en een stukje heden

In de oorspronkelijke definitie waren sinus en cosinus verhoudingen van bepaalde zijden in een rechthoekige driehoek. De grootte van deze verhouding wijzigt nooit zo lang de hoek even groot blijft. De grootte van de driehoek mag wel variëren; dit valt onmiddellijk aan te tonen met de gelijkvormigheid.

Op de middelbare school wordt deze methode nog steeds onderwezen bij wijze van opstap naar de vernieuwde, meer algemene benadering. Men heeft hiervoor gekozen omdat het abstractieniveau beduidend lager is en de toepassingsmogelijkheden veel duidelijker zijn. Hoewel de regels niet moeilijk zijn, worden ze vaak door elkaar gehaald. Het ezelsbruggetje SOS Castoa durft hierom wel eens het schoolbord te ontsieren. Vaak zelfs met het zinkend bootje Castoa en het SOS-roepend mannetje erbij getekend. Het mag dan een doorn in het oog zijn van elke rechtgeaarde wiskundige, het werkt wel.

[bewerk] Sinus en cosinus in het heden

Wanneer je bovenstaande theorie bekijkt, merk je onmiddellijk een probleem op. Stompe hoeken zouden immers geen sinus of cosinus hebben. Men heeft, om dit probleem op te lossen, de sinus en cosinus geherdefinieerd. Bij afspraak is de sinus van α het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt P van α op de goniometrische cirkel. De cosinus is het eerste coördinaatgetal.

Deze definitie is misschien iets moeilijker, maar ze heeft een paar belangrijke voordelen en verschaft erg gemakkelijk enkele inzichten:

De sinus en cosinus van elke hoek, ongeacht zijn grootte valt te bepalen.
De sinus en cosinus van de hoek van 45° zijn gelijk. Dit blijft als je er een aantal keer 180° bij optelt.
De sinus en cosinus van de hoek van 135° zijn elkaars tegengestelde. Dit blijft als je er een aantal keer 180° bij optelt.
hoeken die elkaars tegengestelde zijn (bijvoorbeeld 60° en -60°) hebben dezelfde cosinussen en tegengestelde sinussen.
Hoeken die samen 180° zijn (supplementair) hebben gelijke sinussen en tegengestelde cosinussen
Hoeken waarvan het verschil 180° is (antisupplementair), hebben tegengestelde sinussen en cosinussen.
De sinus van een hoek en de cosinus van de hoek waarmee hij samen 90° vormt (complement) zijn gelijk.
De sinus van een hoek en de cosinus van de hoek waarmee zijn verschil 90° is (anticomplement) zijn gelijk.

Jammer genoeg vervalt de eigenschap dat de tangens het quotiënt is van de sinus en de cosinus. Om dit probleem op te vangen, definieert men de tangens gewoon aldus.

[bewerk] Toepassingen

De sinus en de verwante goniometrische functies zoals de cosinus, worden bijzonder veel toegepast, vooral in de studie van golven. Een van de eigenschappen van de sinus is dat de tweede afgeleide ook een sinus is (met een min-teken). Voor de cosinus geldt een analoge eigenschap. Dit maakt de sinus en de cosinus een oplossing van de golfvergelijking, die een differentiaalvergelijking van de graad twee is.

[bewerk] Enkele voorbeelden

Het is handig enkele waarden van de sinus, de cosinus en de tangens te kennen:

graden	0°	30°	45°	60°	90°
radialen	$0\,$	$\tfrac16\pi$	$\tfrac14\pi$	$\tfrac13\pi$	$\tfrac12\pi$
sinus	$0\,$	$\tfrac12$	$\tfrac12\sqrt{2}$	$\tfrac12\sqrt{3}$	$1\,$
cosinus	$1\,$	$\tfrac12\sqrt{3}$	$\tfrac12\sqrt{2}$	$\tfrac12$	$0\,$
tangens	$0\,$	$\tfrac13\sqrt{3}$	$1\,$	$\sqrt{3}$	geen

Of, makkelijker te onthouden:

Graden	0°	30°	45°	60°	90°
radialen	$0\,$	$\tfrac16\pi$	$\tfrac14\pi$	$\tfrac13\pi$	$\tfrac12\pi$
sinus	$\tfrac12\sqrt{0}$	$\tfrac12\sqrt{1}$	$\tfrac12\sqrt{2}$	$\tfrac12\sqrt{3}$	$\tfrac12\sqrt{4}$
cosinus	$\tfrac12\sqrt{4}$	$\tfrac12\sqrt{3}$	$\tfrac12\sqrt{2}$	$\tfrac12\sqrt{1}$	$\tfrac12\sqrt{0}$
tangens	$0\,$	$\sqrt{3}^{-1}$	$\sqrt{3}^{ 0}$	$\sqrt{3}^{ 1}$	geen