Veelhoek

Een veelhoek of polygoon (het Nederlandse woord is de letterlijke vertaling van de Griekse woorden poli voor "veel" en gonos voor "hoek") is een meetkundig figuur in een plat vlak, gevormd door rechte lijnen.

Algemeen

Een veelhoek is een cyclus van hoekpunten (waarbij het woord cyclus aanduidt dat bijvoorbeeld vierhoek ABCD hetzelfde is als vierhoek BCDA en waarbij de omgekeerde volgorde DCBA ook dezelfde vierhoek beschrijft) met de verbindende lijnstukken (in het voorbeeld AB, BC, CD en DA), zijden genoemd. Elke veelhoek heeft evenveel hoekpunten als zijden. De zijden, gecombineerd met een richting van het doorlopen ervan, vormen een vrije lus. Een hoekpunt met een gestrekte hoek heeft geen invloed op de vrije lus.

Als geen opeenvolgende zijden geheel op gedeeltelijk samenvallen dan maakt men bij het bewegen langs de zijden steeds eenduidig een draaiing tussen -180 en 180 graden (waarbij een draaiing naar links positief wordt gesteld), en krijgt men een totale draaiing van een veelvoud van 360 graden (in omgekeerde richting het tegengestelde). Het aantal malen 360 graden dat men hier krijgt moet niet verward worden met het windingsgetal t.o.v een punt, dat aangeeft hoe vaak een gesloten vlakke kromme om dat punt heendraait. Bij een regelmatige sterveelhoek komt het aantal malen 360 graden dat de draaiing bedraagt wel overeen met het windingsgetal t.o.v. het middelpunt; het is bijvoorbeeld 2 bij een pentagram: bij het bewegen langs de zijden wordt vijf keer een draai van 144 graden gemaakt, dit is in totaal 720 graden, dus twee keer 360 graden, terwijl de hoek vanuit het middelpunt doorlopen bij het bewegen langs een zijde ook 144 graden is, en dat gebeurt ook vijf keer.

Bij een "tweehoek" is dit niet van toepassing: men maakt twee keer een draai van plus of min 180 graden; afhankelijk van de keuzes is het totaal 0 of plus of min 360 graden.

Bij een "eenhoek" zou men kunnen stellen dat er één zijde is van lengte nul; de draaiing is nu helemaal onbepaald.

Een veelhoek is eenvoudig als geen twee zijden gemeenschappelijke punten hebben, behalve dat opeenvolgende zijden het hoekpunt gemeenschappelijk hebben. Zo niet, dan wordt hij complex genoemd.

Gebied

Met een veelhoek die wordt beschreven door een zichzelf niet overschrijdende grens (dit is algemener dan een eenvoudige veelhoek) kan men een gebied (deelverzameling van het vlak) associëren bestaande uit de zijden en het gebied "erbinnen". Als men tegen de klok in langs de opeenvolgende zijden beweegt heeft men het gebied steeds aan de linkerzijde, met dien verstande dat waar twee delen van de contour samenvallen het gebied zich aan geen van beide zijden bevindt en plaatselijk alleen uit het lijnstuk bestaat, of het gebied zich aan beide zijden bevindt. Het gebied kan een of meer polygonale "gaten" hebben (het hoeft dus niet enkelvoudig samenhangend te zijn).

Informatie die verdwijnt als men alleen naar het gebied kijkt zijn zijden van lengte nul (samenvallende opeenvolgende hoekpunten) en hoekpunten met een gestrekte hoek, en verder de zijden of delen van zijden die samenvallen, met aan weerszijden "binnengebied" (er zijn dan ook geen inwendige hoeken van 360 graden meer).

Het woord veelhoek wordt ook wel gebruikt voor het bedoelde gebied, maar meestal bedoelt men dan wel een gebied zonder "gaten".

Hoeken

Bij een veelhoek die wordt beschreven door een zichzelf niet overschrijdende grens zonder zijden van lengte nul (samenvallende opeenvolgende hoekpunten) zijn de inwendige hoeken welgedefinieerd; ze zijn groter dan of gelijk aan 0 graden en kleiner dan of gelijk aan 360 graden. De uitwendige hoeken zijn de supplementen hiervan (180 graden min de hoek).

Een "eenhoek" heeft zoals gezegd een zijde van lengte nul, daardoor is de hoek onbepaald.

Soorten veelhoeken

Een eenvoudige concave zeshoek.

Een complexe veelhoek.

Veelhoeken worden ingedeeld naar het aantal zijden, dit aantal is gelijk aan het aantal hoeken. In het Engels wordt hiervoor een systematische naamgeving gebruikt die gebaseerd is op het Grieks (pentagoon, hexagoon, dodecagoon, ...).

Naam	Griekse naam	Aantal zijden	Hoek van regelmatige veelhoek	Som der hoeken
éénhoek	monogoon	1	onbepaald	onbepaald
tweehoek	digoon	2	0°	0°
driehoek	trigoon	3	60°	180°
vierhoek	tetragoon	4	90°	360°
vijfhoek	pentagoon	5	108°	540°
zeshoek	hexagoon	6	120°	720°
zevenhoek	heptagoon	7	ca. 128,6°	900°
achthoek	octagoon	8	135°	1080°
negenhoek	nonagoon enneagoon	9	140°	1260°
tienhoek	decagoon	10	144°	1440°
elfhoek	hendecagoon	11	ca. 147,3°	1620°
twaalfhoek	dodecagoon	12	150°	1800°
dertienhoek	triskaidecagoon	13	ca. 152,308°	1980°
veertienhoek	tetradecagoon	14	ca. 154,285°	2160°
vijftienhoek	pentadecagoon	15	156°	2340°
zestienhoek	hexadecagoon	16	157,5°	2520°
zeventienhoek	heptadecagoon	17	ca. 158,82°	2700°
achttienhoek	octadecagoon	18	160°	2880°
negentienhoek	nonadecagoon enneadecagoon	19	ca. 161,052°	3060°
twintighoek	icosagoon	20	162°	3240°

Veelhoeken worden ook wel taxonomisch geclassificeerd, zoals geïllustreerd in onderstaande boomstructuur:

                                      Veelhoek
                                     /       \
                                 Eenvoudig  Complex
                                /     \
                           Convex     Concaaf
                            /
                       Regelmatig

• Een eenvoudige veelhoek wordt convex genoemd als hij geen interne hoeken heeft die groter zijn dan 180°. In het andere geval wordt hij concaaf genoemd.
• Een veelhoek is regelmatig als alle zijden even lang zijn en alle hoeken even groot. Een voorbeeld is het vierkant.

Eigenschappen

Alle hierna beschreven eigenschappen zijn beschreven in de Euclidische meetkunde.

Som der hoeken

De som der hoeken van een veelhoek met n hoeken (n ≥ 2) is in radialen:

(n-2)π

en in graden:

$(n-2)180 = 180n-360$

Dit laatste kan men als volgt aanvoelen:

• Bij het bewegen langs de zijden als boven tegen de klok in krijgt men bij een veelhoek die wordt beschreven door een zichzelf niet overschrijdende grens een totale draaiing van 360 graden. De draaiing die men bij een hoekpunt moet maken (de uitwendige hoek) is gelijk aan 180° min de inwendige hoek, waaruit de genoemde formule eenvoudig volgt. Deze redenering geldt ook als enkele van de inwendige hoeken groter zijn dan 180°: als men tegen de klok in langs de zijden van de veelhoek beweegt, draait men daar naar rechts, wat telt als een negatieve draaiing. De redenering geldt ook bij inwendige hoeken van 0 en 360 graden, mits men daar een draai maakt van respectievelijk 180 en -180 graden.

Bij een convexe n-hoek kan men ook een andere redenering volgen: deze kan men door middel van de diagonalen uit één hoekpunt verdelen in (n-2) driehoeken, waarbij de hoeken van de veelhoek opgebouwd zijn uit de hoeken van de driehoeken, waarbij voor elk de som van de hoeken π radialen of 180° is.

Inwendige hoek bij een regelmatige veelhoek

Uit het voorgaande volgt de inwendige hoek van een regelmatige veelhoek met n hoeken, in radialen:

$\frac{(n-2)\pi}{n}$

en in graden:

$\frac{(n-2)180}{n} = 180-\frac{360}{n}$

Oppervlakte

De oppervlakte A van een veelhoek die wordt beschreven door een zichzelf niet overschrijdende grens kan worden berekend als de cartesische coördinaten van de hoekpunten bekend zijn, namelijk

(x₁, y₁),

(x₂, y₂),

...,

(x_n, y_n).

Hierbij dienen de hoekpunten tegen de klok in te zijn opgesomd. De oppervlakte wordt dan berekend met:

A = 1/2 · (x₁y₂ - x₂y₁ + x₂y₃ - x₃y₂ + ... + x_n-1y_n - x_ny_n-1 + x_ny₁ - x₁y_n)

  = 1/2 · (x₁(y₂ - y_n) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₄ - y₂) + ... + x_n-1(y_n - y_n-2) + x_n(y₁ - y_n-1))

Deze formule heet de shoelace formula (schoenveterformule, wegens het patroon van vermenigvuldigingen als de x- en y-coördinaten naast elkaar in twee kolommen staan) en is voor het eerst beschreven door Meister in 1769 en door Gauss in 1795. Het bewijs kan worden verkregen door de veelhoek in driehoeken te verdelen, maar de formule kan ook worden gezien als een speciaal geval van de stelling van Green.

De oppervlakte van een regelmatige n-hoek met zijde z bedraagt:

$\tfrac14 nz^2\tan\left(\tfrac12 \pi-\frac{\pi}{n}\right)$

Bijvoorbeeld voor een vierkant met een zijde van 2:

$\tfrac14\cdot4\cdot2^2\tan\left(\tfrac12 \pi-\frac{\pi}{4}\right) = 4$

Bolyai-Gerwien theorema

Als men twee eenvoudige veelhoeken met gelijk oppervlak beschouwt, dan kan de ene in veelhoeksvormen worden geknipt die kunnen worden samengevoegd om de tweede veelhoek te vormen. Dit staat bekend als het Bolyai-Gerwien theorema.

Koordenveelhoek

Een veelhoek met een omgeschreven cirkel heet een koordenveelhoek. Alle regelmatige veelhoeken zijn koordenveelhoeken, net als alle driehoeken en rechthoeken.

Raaklijnenveelhoek

Een veelhoek met een ingeschreven cirkel heet een raaklijnenveelhoek. Alle regelmatige veelhoeken zijn raaklijnenveelhoeken, net als alle driehoeken.

Bicentrische veelhoek

Een veelhoek die zowel raaklijnenveelhoek als koordenveelhoek is, heet een bicentrische veelhoek. Voor bicentrische veelhoeken geldt de porisme van Poncelet en de stelling van Weill.

Construeren van regelmatige veelhoeken

Niet alle regelmatige veelhoeken kunnen met liniaal en passer worden geconstrueerd. De voldoende voorwaarde hiervoor is bepaald door Carl Friedrich Gauss in 1796. De noodzakelijke voorwaarde is bepaald door Pierre Wantzel in 1836. Deze laatste luidt:

Een regelmatige n-hoek kan worden geconstrueerd met liniaal en passer dan en slechts dan als de oneven priemfactoren van n verschillende priemgetallen zijn en kunnen worden geschreven als:

$2^{2^n} + 1$

Deze priemgetallen zijn de Fermatgetallen. De enige bekende zijn 3, 5, 17, 257 en 65537. Dit betekent dat een zeshoek (met priemfactoren 2 en 3) wel met passer en liniaal geconstrueerd kan worden, maar een zevenhoek niet. Een vijfhoek kan dus wel met passer en liniaal worden geconstrueerd, maar daar is wel een ingewikkelde constructie voor nodig.

Diagonalen

Het aantal diagonalen van een veelhoek met n hoeken (n>2) bedraagt $\frac{n(n-3)}{2}$.

Een diagonaal is een verbindingslijn tussen twee verschillende, niet opeenvolgende, hoekpunten van de veelhoek. Een diagonaal hoeft niet door het middelpunt van de veelhoek te lopen. Een diagonaal kan zich ook buiten de veelhoek bevinden (dit geldt voor één of meer diagonalen dan en slechts dan als de veelhoek concaaf is).

Voorbeelden

Met bovenstaande formule blijkt:

• een driehoek heeft geen diagonalen;
• een vierkant heeft twee diagonalen;
• een vijfhoek heeft vijf diagonalen;

Vlakverdeling

Met veelhoeken kunnen al dan niet regelmatige vlakverdelingen worden gemaakt, zoals deze bijvoorbeeld voorkomen in Arabische kunst en ook in de grafiek van Escher. Met elke driehoek en elke vierhoek kan een vlakverdeling gemaakt worden die bestaat uit alleen deze vormen. Met vijf- en meerhoeken kan het alleen als de veelhoek aan bepaalde voorwaarden voldoet. Een vlakverdeling van een regelmatige veelhoek is alleen moeilijk met de reeds genoemde drie- en vierhoek en met de zeshoek. Dit komt doordat de hoeken van een driehoek (60°), vierhoek (90°) en een zeshoek (120°) alle een deler zijn van 360°. Voor alle andere hoeken van regelmatige veelhoeken geldt dit niet.

Configuratie

Elke veelhoek met n hoeken is een n₂ configuratie.

Zie ook

• Sterveelhoek

Referenties

Mediabestanden

Zie de categorie Polygons van Wikimedia Commons voor meer mediabestanden.