Regelmatige veelhoek

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een regelmatige veelhoek is in de meetkunde een tweedimensionale figuur die bestaat uit een eindig aantal lijnstukken, de zijden, die alle dezelfde lengte hebben. Elk eindpunt van een zijde valt samen met een eindpunt van precies één andere zijde. De hoeken die elk paar zijden met elkaar maakt, zijn alle hetzelfde.

Een regelmatige n-hoek is dus opgebouwd uit n paarsgewijs met elkaar verbonden even lange lijnstukken die n keer dezelfde hoek met elkaar maken.

gelijkzijdige driehoek
gelijkzijdige driehoek
vierkant
vierkant
regelmatige vijfhoek
regelmatige vijfhoek
regelmatige zeshoek
regelmatige zeshoek

Voorbeelden zijn:

Grootte van de hoeken[bewerken]

De grootte van de hoeken tussen twee verbonden zijden van de regelmatige n-hoek is af te leiden door een willekeurig punt binnen de n-hoek te nemen, en van daaruit n lijnstukken te trekken naar de hoekpunten. Hierdoor ontstaan n driehoeken. De ssom van de hoeken van iedere driehoek is 180°. Bij elkaar opgeteld leveren de hoeken van de n driehoeken een totaal van n \cdot 180^\circ. Hiervan bevindt zich (na aftrekken van de hoeken die samenkomen bij het inwendige punt) n \cdot 180^\circ-360^\circ =(n-2)\cdot180^\circ langs de randen van de veelhoek. Omdat alle n hoeken van de veelhoek even groot zijn, is de grootte van elke hoek gelijk aan

\frac{n \cdot 180^\circ - 360^\circ}{n} =  180^\circ - \frac{360^\circ}{n}

Zo zijn de hoeken in een regelmatige vijfhoek elk 108°.

Construeerbaarheid[bewerken]

Een regelmatige n-hoek is construeerbaar met passer en liniaal dan en slechts dan als de oneven priemfactoren van n allemaal verschillende Fermat-priemgetallen zijn. De enige bekende Fermat-priemgetallen zijn 3, 5, 17, 257 en 65537.

Zie ook[bewerken]