Achthoek

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is een achthoek (Gr. octagon) een veelhoek met acht zijden en acht hoeken.

De som van alle (binnen)hoeken \alpha_k van een achthoek bedraagt 1080°, zoals volgt uit de volgende formule met n=8:

 \sum_{k=1}^n \alpha_k = (n - 2) \cdot 180^\circ = 6 \times 180^\circ = 1080^\circ

Verschillende soorten achthoeken[bewerken]

Regelmatige achthoek Onregelmatig achthoek Concave achthoek Complexe achthoek
regelmatige achthoek onregelmatig achthoek concave achthoek complexe achthoek

Regelmatige achthoek[bewerken]

Van een regelmatige achthoek zijn alle zijden gelijk en zijn alle binnenhoeken gelijk aan 135°. Er geldt immers voor elke hoek α:

 \alpha = \frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{3}{4} \cdot 180^\circ = 135^\circ

Voor de oppervlakte van een regelmatige achthoek met een zijde van lengte a geldt:

A = 2a^2 \cot \frac{\pi}{8} = 2(1+\sqrt{2})a^2 \simeq 4.82843 a^2.

De lengte a kan als volgt worden afgeleid van de diameter D:

 a \cdot cos 45^\circ  + a + a \cdot cos 45^\circ = D
 a \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2}  + a + a \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2} = D
 a \cdot (\sqrt{2}+1) = D  =>  a = \frac{D}{(\sqrt{2}+1)} =>  a \simeq \frac{D}{2.41421}

Constructie[bewerken]

De constructie van een regelmatige achthoek gaat met behulp van een liniaal en een passer, in 18 stappen:

OctagonConstructionAni.gif

Zie ook[bewerken]