Vierhoek

Vierhoeken

Een vierhoek is een meetkundige vorm die bestaat uit vier zijden en vier hoeken. Het is op de driehoek na de eenvoudigste veelhoek (ook polygoon genoemd). De som van de hoeken van een vierhoek is 360 graden.

Een vierhoek kan al of niet convex zijn. Gelijkwaardige criteria zijn:

• Het door de vier zijden omsloten gebied is een convexe verzameling.
• Beide diagonalen liggen binnen de vierhoek (inclusief de zijden).
• Voor iedere zijde geldt dat als deze verlengd wordt tot een lijn de gehele vierhoek aan één kant van die lijn (inclusief de lijn zelf) ligt.
• Geen van de hoekpunten ligt binnen de driehoek gevormd door de andere drie hoekpunten.
• Geen enkele hoek van de vierhoek is groter dan 180 graden.

Een vierhoek die niet convex is wordt concaaf genoemd.

Een vierhoek die wel vier verschillende hoekpunten heeft is ontaard als deze een gestrekte hoek heeft. Het omsloten gebied is dan hetzelfde als van een driehoek.

Enkele bijzondere vierhoeken (alle convex):

• Trapezium - Een vierhoek met minstens twee parallelle zijden
• Parallellogram - Een vierhoek met de vier zijden twee aan twee parallel.
• Rechthoek - Een vierhoek met vier rechte hoeken
• Vlieger - Een vierhoek met twee paar gelijke aanliggende zijden
• Vierkant - Een vierhoek met vier gelijke zijden en vier rechte hoeken, een regelmatige veelhoek
• Ruit - Een vierhoek met vier gelijke zijden

Bijzondere vierhoeken

Koordenvierhoek

Zie Koordenvierhoek voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Koordenvierhoeken.

Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan de vier hoekpunten op één cirkel liggen. De 4 zijden zijn dus koorden van deze omgeschreven cirkel. De som van de overstaande hoeken in een koordenvierhoek is 180 graden. Het bewijs hiervan steunt op eigenschappen van middelpunts- en omtrekshoeken. Een rechthoek en een vierkant zijn koordenvierhoeken. Een onregelmatige vierhoek kan een koordenvierhoek zijn en een trapezium alleen als deze gelijkbenig is.

Een convexe vierhoek ABCD is een koordenvierhoek dan en slechts dan als

$AB\cdot CD + BC\cdot AD = AC\cdot BD,$

dit heet de Stelling van Ptolemaeus.

Raaklijnenvierhoek

Een raaklijnenvierhoek is een vierhoek waarvan de vier zijden raken aan een cirkel. De 4 zijden zijn dus raaklijnen aan deze ingeschreven cirkel. Als a en c de lengtes van overstaande zijden zijn, en b en d ook, dan geldt dat a+c=b+d. Voor de oppervlakte van een raaklijnenvierhoek geldt: A=(OR)/2 waarbij O de omtrek is dus 2ac of 2bd. Een vlieger, ruit en vierkant zijn raaklijnenvierhoeken.

Bicentrische vierhoek

Een vierhoek die zowel koordenvierhoek als raaklijnenvierhoek is, heet een bicentrische vierhoek. Een vierkant is een bicentrische vierhoek. Wanneer R de straal is van de omgeschreven cirkel, r van de ingeschreven cirkel en δ de afstand tussen de twee middelpunten van deze cirkels, dan geldt

$\frac 1{(R-\delta)^2} + \frac 1{(R+\delta)^2} = \frac 1{r^2}$.

Orthodiagonale vierhoek

Een orthodiagonale vierhoek is een vierhoek waarvan de diagonalen elkaar loodrecht snijden. Als a en c de lengtes van overstaande zijden zijn, en b en d ook, dan is een vierhoek orthodiagonaal dan en slechts dan als a²+c²=b²+d².

Een vlieger, ruit en vierkant zijn orthodiagonale vierhoeken.

Volledige vierhoek

De volledige vierhoek ABCD met diagonaalpunten P, Q en R. U en V liggen harmonisch ten opzichte van Q en R.

Neemt men vier punten A, B, C en D, waarvan geen drie collineair zijn, met alle zes mogelijke verbindingslijnen, dan wordt deze figuur een volledige vierhoek genoemd. De snijpunten P, Q en R heten de diagonaalpunten van de volledige vierhoek.

Een volledige vierhoek is een (4₃,6₂) configuratie.

Eigenschappen van de volledige vierhoek

• Een lijn door twee diagonaalpunten snijdt de overige zijden in twee punten die ten opzichte van de diagonaalpunten harmonisch liggen.
• De orthopolen van een lijn ten opzichte van de vier driehoeken ABC, ABD, BCD en ACD zijn collineair.

Volledige vierzijde

Een volledige vierzijde met de rechte van Gauss.

De Stelling van Miquel voor een volledige vierzijde.

Neemt men juist vier lijnen, waarvan geen drie concurrent zijn, met alle zes mogelijke snijpunten, dan wordt de figuur een volledige vierzijde genoemd. De drie lijnen tussen hoekpunten die niet al een zijde zijn, heten de diagonalen. De volledige vierzijde is de duale versie van de volledige vierhoek.

Een volledige vierzijde is een (6₂,4₃) configuratie.

Eigenschappen volledige vierzijde

• De middens van de diagonalen van een volledige vierhoek zijn collinear. De dragende lijn wordt de rechte van Gauss (naar Carl Friedrich Gauss) of de rechte van Newton (naar Isaac Newton) genoemd. Raakt een kegelsnede aan de vier zijden, dan ligt zijn middelpunt ook op deze rechte. In het bijzonder ligt het middelpunt van de ingeschreven cirkel van een raaklijnenvierhoek op de rechte Gauss/Newton.
• De Stelling van Miquel voor een volledige vierzijde zegt dat de omgeschreven cirkels van de vier driehoeken in een volledige vierzijde door een gezamenlijk snijpunt gaan, het punt van Miquel. De vier middelpunten van deze cirkels en het punt van Miquel liggen ook weer op een cirkel.
• De hoogtepunten van de vier driehoeken in een volledige vierzijde liggen op een lijn loodrecht op de rechte van Gauss/Newton.
• De orthopool van een van de lijnen ten opzichte van de driehoek gevormd door de andere drie ligt op deze zelfde lijn van hoogtepunten.
• De orthopolen van een vijfde lijn ten opzichte van de vier driehoeken die gevormd kunnen worden met de vier lijnen zijn collineair.
• De drie cirkels met de diagonalen van een volledige vierhoek als middellijn horen bij dezelfde cirkelbundel. De lijn door de hoogtepunten van de vier driehoeken is de machtlijn van deze cirkelbundel.
• De voetpunten van het punt van Miquel op de vier zijden zijn collineair, en deze lijn is evenwijdig aan de lijn van de hoogtepunten.

Zie ook

• Veelhoek
• Vijfhoek

Bronnen, noten en/of referenties J.-P. Ehrmann, Steiner's Theorems on the Complete Quadrilateral, Forum Geometricorum 4 (2004) 35-52. Beschikbaar via deze link.

Mediabestanden

Zie de categorie Tetragons van Wikimedia Commons voor meer mediabestanden.