Vierhoek

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Vierhoeken
Koordenvierhoeken.
De volledige vierhoek ABCD met diagonaalpunten P, Q en R. U en V liggen harmonisch ten opzichte van Q en R.
Een volledige vierzijde met de rechte van Gauss.
De Stelling van Miquel voor een volledige vierzijde.

Een vierhoek is een meetkundige vorm die bestaat uit vier zijden en vier hoeken. Het is op de driehoek na de eenvoudigste veelhoek of polygoon. De som van de hoeken van een vierhoek is 360 graden. Een vierhoek die niet convex is wordt concaaf genoemd. Een vierhoek die wel vier verschillende hoekpunten heeft, heet ontaard als deze een gestrekte hoek heeft. Het omsloten gebied is dan hetzelfde als van een driehoek.

Een vierhoek kan al of niet convex zijn. Gelijkwaardige criteria zijn:

  • Het door de vier zijden omsloten gebied is een convexe verzameling.
  • Beide diagonalen liggen binnen de vierhoek. Wanneer een diagonaal voor een deel samenvalt met één van de zijden, is de vierhoek ontaard.
  • Voor iedere zijde geldt dat als deze wordt verlengd tot een lijn de gehele vierhoek aan één kant van of triviaal op die lijn ligt.
  • Geen van de hoekpunten ligt binnen de driehoek gevormd door de andere drie hoekpunten.
  • Geen enkele hoek van de vierhoek is groter dan 180 graden.

Enkele bijzondere vierhoeken, die alle convex zijn:

Bijzondere vierhoeken[bewerken]

Koordenvierhoek[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Koordenvierhoek voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan de vier hoekpunten op één cirkel liggen. De 4 zijden zijn dus koorden van deze omgeschreven cirkel. De som van de overstaande hoeken in een koordenvierhoek is 180 graden. Het bewijs hiervan steunt op eigenschappen van middelpunts- en omtrekshoeken. Een rechthoek en een vierkant zijn koordenvierhoeken. Een onregelmatige vierhoek kan een koordenvierhoek zijn en een trapezium alleen als deze gelijkbenig is.

Een convexe vierhoek ABCD is een koordenvierhoek dan en slechts dan als

AB\cdot CD + BC\cdot AD = AC\cdot BD,

dit is de stelling van Ptolemaeus.

Raaklijnenvierhoek[bewerken]

Een raaklijnenvierhoek is een vierhoek waarvan de vier zijden raken aan een cirkel. De 4 zijden zijn dus raaklijnen aan deze ingeschreven cirkel. Als a en c de lengtes van overstaande zijden zijn, en b en d ook, dan geldt dat a+c=b+d. Voor de oppervlakte van een raaklijnenvierhoek geldt: A=(OR)/2 waarbij O de omtrek is dus 2ac of 2bd. Een vlieger, ruit en vierkant zijn raaklijnenvierhoeken.

Bicentrische vierhoek[bewerken]

Een vierhoek die zowel koordenvierhoek als raaklijnenvierhoek is, heet een bicentrische vierhoek. Een vierkant is een bicentrische vierhoek. Wanneer R de straal is van de omgeschreven cirkel, r van de ingeschreven cirkel en δ de afstand tussen de twee middelpunten van deze cirkels, dan geldt

 \frac 1{(R-\delta)^2} + \frac 1{(R+\delta)^2} = \frac 1{r^2}.

Orthodiagonale vierhoek[bewerken]

Een orthodiagonale vierhoek is een vierhoek waarvan de diagonalen elkaar loodrecht snijden. Als a en c de lengtes van overstaande zijden zijn, en b en d ook, dan is een vierhoek orthodiagonaal dan en slechts dan als a2+c2=b2+d2.

Een vlieger, ruit en vierkant zijn orthodiagonale vierhoeken.

Volledige vierhoek[bewerken]

Neemt men vier punten A, B, C en D, waarvan er geen drie op één lijn liggen, met alle zes mogelijke verbindingslijnen, dan wordt deze figuur een volledige vierhoek genoemd. De snijpunten P, Q en R heten de diagonaalpunten van de volledige vierhoek.

Een volledige vierhoek is een (43,62) configuratie.

Eigenschappen van de volledige vierhoek[bewerken]

  • Een lijn door twee diagonaalpunten snijdt de overige zijden in twee punten die ten opzichte van de diagonaalpunten harmonisch liggen.
  • De orthopolen van een lijn ten opzichte van de vier driehoeken ABC, ABD, BCD en ACD liggen op één lijn.

Volledige vierzijde[bewerken]

Neemt men juist vier lijnen, waarvan er geen twee parallel zijn, met alle zes mogelijke snijpunten, dan wordt de figuur een volledige vierzijde genoemd. De drie lijnen tussen hoekpunten die niet al een zijde zijn, heten de diagonalen. De volledige vierzijde is de duale versie van de volledige vierhoek.

Een volledige vierzijde is een (62,43) configuratie.

Eigenschappen volledige vierzijde[bewerken]

  • De middens van de diagonalen van een volledige vierhoek zijn collinear. De dragende lijn wordt de rechte van Gauss, genoemd naar Carl Friedrich Gauss, of de rechte van Newton, genoemd naar Isaac Newton. Raakt een kegelsnede aan de vier zijden, dan ligt zijn middelpunt ook op deze rechte. In het bijzonder ligt het middelpunt van de ingeschreven cirkel van een raaklijnenvierhoek op de rechte Gauss/Newton.
  • De stelling van Miquel voor een volledige vierzijde zegt dat de omgeschreven cirkels van de vier driehoeken in een volledige vierzijde door een gezamenlijk snijpunt gaan, het punt van Miquel. De vier middelpunten van deze cirkels en het punt van Miquel liggen ook weer op een cirkel.
  • De hoogtepunten van de vier driehoeken in een volledige vierzijde liggen op een lijn loodrecht op de rechte van Gauss/Newton.
  • De orthopool van een van de lijnen ten opzichte van de driehoek gevormd door de andere drie ligt op deze zelfde lijn van hoogtepunten.
  • De orthopolen van een vijfde lijn ten opzichte van de vier driehoeken, die kunnen worden gevormd met de vier lijnen liggen op één lijn.
  • De drie cirkels met de diagonalen van een volledige vierhoek als middellijn horen bij dezelfde cirkelbundel. De lijn door de hoogtepunten van de vier driehoeken is de machtlijn van deze cirkelbundel.
  • De voetpunten van het punt van Miquel op de vier zijden liggen op één lijn, en deze lijn is evenwijdig aan de lijn van de hoogtepunten.

Zie ook[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties