Hoogtepunt (meetkunde)

Hoogtepunt

Het snijpunt van de hoogtelijnen van een driehoek heet het hoogtepunt. Het is het driehoekscentrum met Kimberling nummer X(4). Het hoogtepunt is het anticomplement van het middelpunt van de omgeschreven cirkel. De hoekpunten van een driehoek samen met het hoogtepunt vormen een hoogtepuntssysteem.

Hoogtepunt, zwaartepunt en het middelpunt van de omgeschreven cirkel liggen op een rechte lijn. Dit is de lijn van Euler.

Spiegel je het hoogtepunt in de drie zijden van de driehoek, dan liggen de beeldpunten op de omgeschreven cirkel.

Cartesische coördinaten

Voor een driehoek met hoekpunten (x₁,y₁), (x₂,y₂) en (x₃,y₃) in Cartesische coördinaten, zijn de coördinaten van het hoogtepunt

$\left( \frac{\left| \begin{array}{ccc} -x_2x_3 - y_1^2 & y_1 & 1 \\ -x_1x_3 - y_2^2 & y_2 & 1 \\ -x_1x_2 - y_3^2 & y_3 & 1 \end{array} \right|} {\left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|}, \frac{\left| \begin{array}{ccc} x_1 & -x_1^2 - y_2y_3 & 1 \\ x_2 & -x_2^2 - y_1y_3 & 1 \\ x_3 & -x_3^2 - y_1y_2 & 1 \end{array} \right|} {\left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|} \right).$

Als de hoekpunten op de eenheidscirkel liggen, dan is dit sterk te vereenvoudigen tot

$\left( x_1 + x_2 + x_3, y_1 + y_2 + y_3 \right).$

Barycentrische coördinaten

Met gebruikmaking van Conway-driehoeknotatie heeft het hoogtepunt barycentrische coördinaten

$\,(S_{BC}:S_{AC}:S_{AB}).$

Zie ook

• Voetpuntsdriehoek
• Stelling van Droz-Farny