Kegelsnede
Een kegelsnede ontstaat door het snijden van een kegel, of eigenlijk een dubbele kegel, met een plat vlak. Kegelsneden werden reeds 200 jaar v.Chr. bestudeerd door Apollonius van Perga.
Afhankelijk van hoe de kegel gesneden wordt, ontstaan verschillende meetkundige krommes: een ellips (met als bijzonder geval de cirkel), een hyperbool of een parabool (op te vatten als een grensgeval tussen een hyperbool en een ellips).
Naast deze 'standaard' kegelsneden zijn er ook nog ontaarde kegelsneden. Deze worden gevormd door het snijvlak door de top van de kegel te laten gaat. Dit geeft een punt, een rechte of twee snijdende rechten.
Ellipsen en hyperbolen worden wel centrale kegelsneden genoemd omdat ze, in tegenstelling tot een parabool, een middelpunt hebben.
Inhoud |
Meetkundige plaatsen [bewerken]
De kegelsneden kunnen in het vlak eenvoudig gedefinieerd worden als meetkundige plaatsen.
- De parabool: Zij d een rechte, de richtlijn, en F een punt, het brandpunt, dat niet op die rechte ligt. De parabool is de meetkundige plaats van de punten waarvoor de afstand tot de richtlijn gelijk is aan de afstand tot het brandpunt.
- Parsen mislukt (<math_output_error>): P \, \in \, Pb \, \Leftrightarrow \, d(P,D) \, = \, d(P,F)
- De ellips: Stel dat F1 en F2 twee punten, de brandpunten, zijn op onderlinge afstand 2c. Zij a een getal groter dan c. Dan is de ellips de meetkundige plaats van de punten waarvoor de som van de afstanden tot de twee brandpunten gelijk is aan 2a.
- Parsen mislukt (<math_output_error>): P \, \in \, E \, \Leftrightarrow \, d(P,F1) \, + \, d(P,F2) \, = \, 2a
- De hyperbool: Stel dat F1 en F2 twee punten, de brandpunten, zijn op onderlinge afstand 2c. Zij a een getal kleiner dan c. Dan is de hyperbool de meetkundige plaats van de punten waarvoor het verschil van de afstanden tot de twee brandpunten gelijk is aan 2a.
- Parsen mislukt (<math_output_error>): P \, \in \, H \, \Leftrightarrow \, |d(P,F1) \, - \, d(P,F2)| \, = \, 2a
Het is ook mogelijk één gemeenschappelijk meetkundige definitie te geven waaraan deze drie types kegelsneden aan voldoen: Zij d een rechte, de richtlijn, F een punt, een brandpunt, dat niet op de richtlijn ligt, en e een positief getal, de excentriciteit. Dan is de meetkundige plaats van de vergelijking:
- Parsen mislukt (<math_output_error>): P \, \in \, K \, \Leftrightarrow \, d(P,D) \, = \, e \, d(P,F)
een ellips indien 0<e<1, een parabool indien e=1, en een hyperbool indien e>1.
Toepassingen [bewerken]
Het tweelichamenprobleem heeft de kegelsneden als oplossingen.
Een kogelbaan is bij verwaarlozing van luchtweerstand een kegelsnede die afhangt van het gravitatiemodel: bij een uniform gravitatieveld is het een parabool, als met de kromming van de aarde rekening wordt gehouden dan is het een stukje van een ellips, met verticale lange as.
Eigenschappen [bewerken]
Een kegelsnede wordt vastgelegd door vijf punten waarvan er geen drie collineair zijn of door vijf (raak)lijnen waarvan er geen drie concurrent zijn.
Vergelijkingen [bewerken]
In een cartesiaans assenstelstel is een kegelsnede altijd van de vorm
- Parsen mislukt (<math_output_error>): ax^2 + 2hxy + by^2 +2gx + 2fy + c = 0\;
, een kwadratische vergelijking in twee variabelen 
en 
.
- als h2 = ab, stelt de vergelijking een parabool voor;
- als h2 < ab, stelt de vergelijking een ellips voor;
- als h2 > ab, stelt de vergelijking een hyperbool voor;
- als a = b en h = 0, stelt de vergelijking een cirkel voor;
- als a + b = 0, stelt het een rechthoekige hyperbool voor.
- als b=f=0, dan ontaardt de kegelsnede in twee snijdende rechten;
- als c=0, dan ontaardt de kegelsnede in een punt;
Externe link [bewerken]
Zie ook [bewerken]
 |
Zie de categorie Conic sections van Wikimedia Commons voor meer mediabestanden. |
