Kegelsnede

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Soorten kegelsneden: 1. parabool, 2. cirkel en ellips, 3. hyperbool
Mogelijke kegelsneden die ontstaan bij het snijden van een kegel met een vlak

Een kegelsnede is een vlakke kromme die ontstaat door het snijden van een kegel (eigenlijk een dubbele kegel) met een plat vlak. Kegelsneden werden reeds 200 jaar v.Chr. bestudeerd door Apollonius van Perga. Afhankelijk van de manier waarop de kegel wordt gesneden, ontstaan verschillende meetkundige krommes: een cirkel, een ellips, een parabool of een hyperbool. Een cirkel is een speciaal geval van een ellips, een parabool is op te vatten als een grensgeval tussen een ellips en een hyperbool.

Cirkels, ellipsen en hyperbolen worden wel centrale kegelsneden genoemd omdat ze, in tegenstelling tot een parabool, een middelpunt hebben.

Een kegelsnede wordt vastgelegd door vijf punten waarvan er geen drie op één lijn liggen of door vijf raaklijnen aan een punt op de kegelsnede, waarvan er geen drie door één punt gaan.

Toepassingen[bewerken]

Het tweelichamenprobleem heeft de kegelsneden als oplossingen.

Een kogelbaan is bij verwaarlozing van luchtweerstand een kegelsnede die afhangt van het gravitatiemodel: bij een uniform gravitatieveld is het een parabool, als met de kromming van de aarde rekening wordt gehouden dan is het een stukje van een ellips, met verticale lange as.

Excentriciteit[bewerken]

Parabool ellips hyperbool.svg

Vergelijk de ellips, parabool en hyperbool met elkaar. Het verschil tussen deze wordt bepaald door hun excentriciteit.

Ellips[bewerken]

Gegeven zijn twee punten, de brandpunten F_1 en F_2, op onderlinge afstand 2c, en een getal a>c, dan is de ellips E de meetkundige plaats van de punten waarvoor de som van de afstanden tot de twee brandpunten gelijk is aan 2a.

x  \in  E  \Leftrightarrow  d(x,F_1)  +  d(x,F_2) = 2a

Parabool[bewerken]

Gegeven zijn een lijn d, de richtlijn, en een punt F, het brandpunt, niet op de lijn gelegen, dan is de parabool P de meetkundige plaats van de punten waarvoor de afstand tot de richtlijn gelijk is aan de afstand tot het brandpunt.

x  \in  P  \Leftrightarrow  d(x,d) = d(x,F)

Hyperbool[bewerken]

Gegeven zijn twee punten, de brandpunten F_1 en F_2, op onderlinge afstand 2c, en een getal a<c, dan is de hyperbool de meetkundige plaats van de punten waarvoor het verschil van de afstanden tot de twee brandpunten gelijk is aan 2a.

x\in  H \Leftrightarrow  |d(x,F_1) - d(x,F_2)| = 2a .

Meetkundige plaats[bewerken]

Het is ook mogelijk een gemeenschappelijke meetkundige definitie te geven voor deze drie types kegelsneden. Gegeven zijn een lijn l, de richtlijn, een punt F, het brandpunt, dat niet op de richtlijn ligt, en een positief getal \epsilon, de excentriciteit, dan is de meetkundige plaats K van de punten X die voldoen aan:

X \in  K  \Leftrightarrow  d(X,l) = \epsilon  d(X,F)

een ellips indien 0<\epsilon<1, een parabool als \epsilon=1 en een hyperbool als \epsilon>1.

Vergelijking[bewerken]

In een cartesiaans assenstelstel is de vergelijking van een kegelsnede van de vorm

ax^2 + 2hxy + by^2 +2gx + 2fy + c = 0\;.

Het is een kwadratische vergelijking in twee variabelen x en y.

  • als h2 = ab, is de vergelijking een parabool,
  • als h2 < ab, is de vergelijking een ellips,
  • als h2 > ab, is de vergelijking een hyperbool,
  • als a = b en h = 0, is de vergelijking een cirkel,
  • als a + b = 0, is het een rechthoekige hyperbool.

Matrixvergelijking van een kegelsnede[bewerken]

De matrix  \begin{bmatrix} a & h & g \\ h & b & f\\ g & f & c \end{bmatrix} heet de kubische matrix van de kegelsnede ax^2 + 2hxy + by^2 +2gx + 2fy + c = 0 .

Als

 P =  \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}\; en  C =    \begin{bmatrix} a & h & g \\ h & b & f\\ g & f & c \end{bmatrix}

is

  P^T C P = ax^2 + 2hxy + by^2 +2gx + 2fy + c

en de matrixvergelijking van de kegelsnede is  P^T C P = 0

Raaklijn in een punt van een kegelsnede[bewerken]

De vergelijking van de raaklijn in een gegeven punt D(a,b) aan de kegelsnede K met matrixvergelijking  P^TCP = 0 wordt gegeven door de formule

 \begin{bmatrix} x & y & 1 \end{bmatrix} C  \begin{bmatrix} a\\ b \\ 1 \end{bmatrix}\; = 0

Hierin is C de kubische matrix van de gegeven kegelsnede.

We berekenen als voorbeeld de raaklijn in D(1,1) van de kegelsnede met vergelijking

  3 x^2 + 4 xy + 2 x - 9  = 0

De gevraagde raaklijn heeft vergelijking

  \begin{bmatrix} x & y & 1 \end{bmatrix} 
    \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\
                    2 & 0 & 0 \\
                    1 & 0 & -9 
   \end{bmatrix} 
   \begin{bmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\; = 0 \Leftrightarrow 3x+y-4=0

Raaklijnen uit een punt aan een kegelsnede[bewerken]

Raaklijnen uit een punt D aan een kegelsnede

De verbindingslijn van de raakpunten van de raaklijnen uit een punt D(a,b) aan een kegelsnede K met matrixvergelijking  P^TCP = 0 heet de raakkoorde corresponderend met punt D. Van zodra die raakkoorde bekend is, is het mogelijk om de raaklijnen uit D aan de kegelsnede te berekenen.

De raakkoorde k corresponderend met punt D heeft de vergelijking   \begin{bmatrix} x & y & 1 \end{bmatrix} C  \begin{bmatrix} a\\ b \\ 1 \end{bmatrix}\; = 0  . Hierin is C de kubische matrix van de kegelsnede K. Van zodra we die raakkoorde k kennen, kunnen we de snijpunten berekenen van k en de kegelsnede. Die snijpunten S en T zijn de raakpunten van de raaklijnen uit het punt D aan de kegelsnede. De gevraagde raaklijnen zijn dan de lijnen DS en DT.

Samengevat:

  • Bereken de raakkoorde corresponderend met het gegeven punt D
  • Bereken de snijpunten S en T van de kegelsnede en die raakkoorde
  • De raaklijnen zijn dan de lijnen DS en DT.

Voorbeeld: We berekenen de raaklijnen uit punt D(1,0) aan de kegelsnede met vergelijking

   x^2  + 2 x y - y^2  + 4 x - 6 = 0

De raakkoorde corresponderend met het punt D heeft als vergelijking

  \begin{bmatrix} x & y & 1 \end{bmatrix} 
    \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\
                    1 & -1 & 0 \\
                    2 & 0 & -6 
   \end{bmatrix} 
   \begin{bmatrix} 1\\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\; = 0 \Leftrightarrow 3 x + y - 4 = 0

De snijpunten S en T van die raakkoorde met de kegelsnede zijn de oplossingen van het stelsel

\begin{alignat}{3}
 x^2  + 2 x y - y^2  + 4 x - 6 = 0  &&\; =\; && 0 \\
 3 x + y - 4  && \;=\; && 0 \\
\end{alignat}

De oplossingen zijn S(1,1) en T(11/7,-5/7).

De raaklijn DS heeft vergelijking x = 1

De raaklijn DT heeft vergelijking 5 x + 4 y = 5

Middelpunt van een ellips of hyperbool[bewerken]

Het middelpunt van een ellips of hyperbool is het symmetriepunt van de figuur. De coördinaten van het middelpunt van zo'n kegelsnede met vergelijking ax^2 + 2hxy + by^2 +2gx + 2fy + c = 0\; zijn de oplossingen van het stelsel

\begin{alignat}{2}
a x + h y + g \; & = \;&  0  \\
h x + b y + f \; & = \;&  0  
\end{alignat}

Ontaarde kegelsneden[bewerken]

Behalve deze 'standaard' kegelsneden zijn er ook nog ontaarde kegelsneden. Deze worden gevormd door het snijvlak door de top van de kegel te laten gaan. Dit geeft een punt, een rechte of twee snijdende rechten.

Een kegelsnede is ontaard als zijn vergelijking kan worden ontbonden als een product van twee lineaire vergelijkingen met reële of complexe coëfficiënten. De grafiek valt dan uiteen in twee reële of twee imaginaire rechten. Het zijn de componenten van de ontaarde kegelsnede. Het snijpunt van die rechten heet het dubbelpunt. Wanneer de twee rechten samenvallen is ieder punt een dubbelpunt. Zo is de kegelsnede met vergelijking  x^2-y^2-6x+9= 0 ontaard in de reële rechten met vergelijking  x+y-3=0 en  x-y-3=0 . Het punt (3,0) is het dubbelpunt. De kegelsnede x^2 +y^2 =0 ontaardt in de imaginaire rechten x + i y=0 en x-i y =0 en het reële dubbelpunt ligt in de oorsprong (0,0).

Een parabool ontaardt in twee evenwijdige rechten en een ellips in twee toegevoegd imaginaire rechten. Een hyperbool ontaardt in twee snijdende reële rechten.

De kegelsnede met vergelijking ax^2 + 2hxy + by^2 +2gx + 2fy + c = 0\; ontaardt enkel en alleen als


   \begin{vmatrix}
    a & h & g \\
    h & b & f\\
    g & f & c
  \end{vmatrix} = 0

De determinant 
   \begin{vmatrix}
    a & h & g \\
    h & b & f\\
    g & f & c
  \end{vmatrix}
  heet de kubische determinant van de kegelsnede.

Zie ook[bewerken]